Ботаем экономику: Старшие

Монополия

Монополия — это рыночная структура, при которой на рынке действует единственный производитель товара или услуги, не имеющий близких заменителей. Монополист сам выбирает объем выпуска, а цена определяется через функцию спроса. В отличие от совершенной конкуренции, монополист сталкивается с убывающей функцией спроса и, следовательно, с предельной выручкой, лежащей ниже спроса. Оптимум монополиста определяется максимизацией прибыли, которая может достигаться как с помощью равенства MR = MC, так и прямой максимизацией прибыли, если стандартные условия применимости предельного анализа нарушаются.

Что почитать?

1) Учебник по олимпиадной экономике: с. 94-96

2) Лекция.

3) Задачник по экономике (с. 94-98).

Что порешать?

Задача 1. Блиц-блиц скорость без границ

В каждом из следующих случаев необходимо найти равновесие монополиста.

$1. TC = Q^2$

$Q = 200 − 2P$

$2. TC = 2√Q$

$Q = 100 − P$

$3. TC = Q^2$

$Q = 100 / P^2 , P ≥ 10$

Решение

(a)

Функция спроса:

$P = 100 − 0.5Q$

Выручка:

$TR = 100Q − 0.5Q^2$

Предельная выручка:

$MR = 100 − Q$

Издержки:

$TC = Q^2$

$MC = 2Q$

Так как MR не возрастает, а MC не убывают, оптимум определяется равенством:

$100 − Q = 2Q$

$Q = 100 / 3$

$P = 250 / 3$

(b)

Спрос:

$P = 100 − Q$

Выручка:

$TR = 100Q − Q^2$

$MR = 100 − 2Q$

Издержки:

$TC = 2√Q$

$MC = 1 / √Q$

MC убывают, поэтому условие MR = MC не гарантирует максимум.

Запишем прибыль:

$\pi = 100Q − Q^2 − 2√Q$

Производная по Q:

$\pi'_Q = 100 − 2Q − 1 / √Q$

В данном виде уравнение не имеет аналитического решения, поэтому задача иллюстрирует случай, когда стандартный предельный анализ неприменим.

(c)

Спрос:

$P = 10 / √Q$

Выручка:

$TR = 10√Q$

$MR = 5 / √Q$

Издержки:

$TC = Q^2$

$MC = 2Q$

Оптимум:

$2Q = 5 / √Q$

$Q = √[3]{2.5}$

$P = 100 / √[3]{2.5}$

Ограничение $P ≥ 10$ выполняется, значит найденное решение является равновесием.

Для того, чтобы произвести $Q_v$ велосипедов, нужны $2Q_v$ колеса и еще дополнительно $5Q_v^2$ денежных единиц. Исторически сложилось, что рынок велосипедов, колес и рам были совершенно конкурентными. Спрос на велосипеды $Q_v = 160 - P_v,$ а рыночное предложение состоит из предложений 10 фирм, которые предъявляют спрос на колеса. Предложение производителей колес задается функцией $Q_s = 2P_s - 20$ .

Найдите равновесия на двух рынках. Какое общественное благосостояние получится, если оно состоит из излишков производителей и потребителей на обоих рынках?
Пусть производители велосипедов объединились в картель, однако они продолжают быть совершенным конкурентом на рынке колес. Найдите равновесия на двух рынках. Чему будут равны потери общественного благосостояния по сравнению с предыдущим пунктом?
Пусть теперь производители велосипедов являются монополистом на рынке велосипедов и монопсонистом на рынке колес, то есть они выбирают и ту, и другую цену. Найдите равновесие в этом случае. Чему будут равны потери общественного благосостояния по сравнению с первым пунктом?

Решение

(a)

Найдем издержки фирмы:

$TC_i = 5Q_v^2 + P_s Q_s = 5Q_v^2 + 2P_s Q_v$

Оптимум будет в равенстве

$P_v = MC = 10Q_{v_i} + 2P_s$ — предложение одной фирмы.

$P^{рын}_v = Q_v + 2P_s$

$Q_v + 2P_s = 160 - Q_v$

$Q_v = 80 - P_s$

Заметим, что предложение велосипедов нетрудно превращается в спрос на колеса:

$Q_s = 2Q_v = 2P_v - 4P_s$

$2P_v - 4P_s = 2P_s - 20$

Совместим два равновесия:

$P_s = 10/3 + P_v/3$

$P_v = 80 + P_s$

Следовательно,

$P_s = 45$

$P_v = 125$

$Q_v = 35$

$Q_s = 70$

Найдем излишки и общественное благосостояние при совершенной конкуренции (при этом мы должны учесть $PS_v и CS_s$ только один раз, потому что на обоих рынках это прибыль фирмы, а ее нельзя учитывать дважды):

$CS_v = Q_v^2 / 2 = 1225 / 2$

$PS_v = Q_v^2 / 2 = 1225 / 2$

$CS_s = Q_s^2 / 8 = 1225 / 2$

$PS_s = Q_s^2 / 4 = 1225$

$SW = 1225 + 1225 = 2450$

(b)

Теперь у нас есть монополист на рынке велосипедов. Можно заметить, что если сложить 10 заводов производителей велосипедов, получится в точности издержки монополиста:

$TC = 0.5Q_v^2 + 2P_s Q_v$

$MC = TC'_{Q_v} = Q_v + 2P_s$

Оптимум найдем с помощью равенства $MR = MC$ (необходимое условие выполнено — MC не убывают, а MR не возрастает):

$160 - 2Q_v = Q_v + 2P_s$

$Q_v = (160 - 2P_s) / 3$

Тогда можем сказать, что спрос на колеса равен:

$Q_s = 2Q_v = (320 - 4P_s) / 3$

Найдем равновесие на втором рынке и выведем равновесные значения для обоих рынков:

$(320 - 4P_s) / 3 = 2P_s - 20$

$P_s = 38$

$Q_s = 56$

$Q_v = 28$

$P_v = 132$

Изменение общественного благосостояния:

$CS_v = Q_v^2 / 2 = 392$

$PS_s = Q_s^2 / 4 = 784$

$CS_s = PS_v = \pi = 132 · 28 - 0.5 · 28^2 - 28 · 76 = 1176$

$SW = CS_v + PS_s + \pi = 2352$

$DWL = 2450 - 2352 = 98$

(c)

Теперь, поскольку фирма может назначать обе цены, аналогично с монополией, в монопсонии мы можем подставить в прибыль фирмы вместо цены P_s функцию:

$\pi = 160Q_v - Q_v^2 - 0.5Q_v^2 - 2(Q_v + 10)Q_v$

$= 140Q_v - 3.5Q_v^2 → max_{Q_v ≥ 0}$

Это парабола ветвями вниз, максимум в вершине:

$Q_v = 20$

$Q_s = 40$

$P_v = 140$

$P_s = 30$

Найдем новые составляющие благосостояния и DWL:

$CS_v = Q_v^2 / 2 = 200$

$PS_s = Q_s^2 / 4 = 400$

$CS_s = PS_v = \pi = 140 · 20 - 3.5 · 20^2 = 1400$

$SW = CS_v + PS_s + \pi = 2000$

$DWL = 2450 - 2000 = 450$

Таким образом, мы получили, что по мере уменьшения конкуренции на рынках цена велосипедов завышается, цена колес снижается, количество велосипедов и колес снижается, а суммарное благосостояние падает (образуются потери мертвого груза).