Ботаем экономику: Старшие

Оптимизация: труд и капитал

Фирма выбирает сочетание труда (L) и капитала (K) для минимизации издержек при заданном объёме выпуска. Условие оптимума: предельная норма технологического замещения (MRTS) равна соотношению цен факторов: $w/r$ , где $w$ — зарплата, $r$ — цена капитала. Это означает, что последний рубль, потраченный на труд, даёт тот же прирост выпуска, что и рубль, потраченный на капитал. Эффективность достигается, когда изокванта (кривая равного выпуска) касается изокосты (линии равных затрат)!

Что почитать?

1) Учебник по олимпиадной экономике: с. 48-53

2) Лекция.

3) И еще лекция.

4) Задачник по экономике (с. 35-37).

Что порешать?

Задача 1

В небольшом государстве Малютка живёт Фёдор, которому нравится ухаживать за домашними животными. Для этого он покупает им домики ( $q_1$ ) и корм ( $q_2$ ). Чтобы животным было уютно, необходимо выполнение условия $10\sqrt{q_1} + q_2 = 100$ . При этом Фёдор старается потратить на уход за животными как можно меньше денег, потому что ему нужно ещё и содержать семью, однако для уюта животных денег всегда хватает. Корм Федор всегда покупает у друга по цене 5 мальков (денежная единица государства Малютка) за ед. корма. А вот домики делает лишь одна компания «МалютЖивотноСтрой», тратя на каждый домик 2,5 малька (домики не обязательно должны быть целыми). Других покупателей у фирмы нет. При этом цену домика Фёдор воспринимает как заданную, не зависящую от его решений. Правительство страны Малютка тоже заботится об уюте домашних животных. Так, решено было выделить Фёдору грант в размере 10 % от всех денег, что он потратит на содержание домашних животных. Как такое решение скажется на прибыли «МалютЖивотноСтроя»? Сколько денег сэкономит Фёдор? Дайте количественную оценку этих показателей.

Решение

Задача Фёдора:

$M = \begin{cases} p_1q_1 + p_2q_2 \quad \to \max \\ 10√q_1 + q_2 = 100 \end{cases}$

Подставляем второе в первое, находим минимум функции (квадратного трехчлена с ветвями вверх):

$q_1 = \begin{cases} \frac{625}{p_1^2} \\ q_2 = 100 - \frac{250}{p_1} \end{cases}$

Теперь рассмотрим прибыль монополиста:

$\pi = p_1q_1 - 2,5q_1 = 25√q_1 - 2,5q_1$

Прибыль — парабола ветвями вниз, максимум достигается в точке √ $q_1 = 5 \rightarrow q_1 = 25$

Тогда $q_2 = 50, p_1 = 5.$

Расходы Фёдора составляют: $M = 5 \cdot 25 + 5 \cdot 50 = 375.$

Прибыль «МалютЖивотноСтроя»: $\pi = 5 \cdot 25 - 2,5 \cdot 25 = 62,5.$

Новая задача Фёдора выглядит, как:

$M^* = \begin{cases} 0,9(p_1q_1 + p_2q_2) \quad \to \max \\ 10√q_1 + q_2 = 100 \end{cases}$

Оптимальные значения не изменятся, так как целевую функцию просто умножили на положительное число. То есть прибыль «МалютЖивотноСтроя» также не изменится. При этом расходы Фёдора станут равны $M^* = 0,9 \cdot 375 = 337,5$ . Фёдор сэкономит: $375 - 337,5 = 37,5.$

2. Издержки фирмы в долгосрочном периоде выглядят следующим образом (при этом в краткосрочном периоде она может производить только положительное количество):

$TC_i = \begin{cases} 0, & Q_i = 0 \\ Q_i^2 + 20Q_i + 100, & Q_i > 0 \end{cases}$

а) При каких ценах фирма будет готова остаться на рынке в краткосрочном периоде и уйдет в долгосрочном.

б) Найдите суммарное предложение на рынке для $n$ таких фирм.

в) Пусть спрос на продукцию фирм равен $Q = a - P$ , а в краткосрочном периоде на рынке находится 10 фирм. Найдите все значения $a$ , при которых на рынке не сложится равновесие в краткосрочном периоде, или докажите, что их нет.

Решение

а) Отдельно проминимизируем средние переменные издержки $AVC = Q + 20$ и средние общие издержки $AC = Q + 20 + \frac{100}{Q}$ — тогда получим, что при ценах $P \in [20;40]$ фирма остается в краткосрочном периоде и уходит в долгосрочном.

б) $P = MC = 2Q + 20$ , при этом в долгосрочном периоде этот возрастающий участок предложения будет при цене не ниже 40, а в краткосрочном периоде — не ниже 20 (до этого $Q = 0$ ).

Теперь сложим предложение $n$ фирм: на возрастающем участке ( $P > 40$ ) все фирмы производят одинаковое положительное количество, $P = \frac{2Q}{n} + 20$ . При низких ценах $P < 40$ все фирмы производят 0, а значит и на рынке продается ноль.

При $P = 40$ каждая фирма выбирает, производить ей 0 или 10. Тогда всего на рынке может образоваться суммарное количество 0, 10, 20, …, $10n$ . Тогда предложение выглядит так:

$Q_{sum} = \begin{cases} 0, & P \in [0; 20) \\ 10k, & P = 20, k \in \{1, 2, \dots, n-1, n\} \\ 0.5nP - 10n, & P > 20 \end{cases}$

в) Из всех возможных точек равновесие может не сложиться только при $P = 20$ в точках разрыва предложения: когда количество не кратно 10 при цене 20. Под это подходят все $a$ вида $a \in (10k; 10k + 1), k \in \{1, 2, \dots, n-1, n\}$ . При этих значениях параметра мы получим, что фирмам выгодно то заходить, то уходить с рынка, а стабильного равновесия не будет.