Ботаем экономику: Старшие

Оптимизация: 2 завода

Оптимизация двух заводов — это задача распределения ресурсов (сырья, времени, бюджета) между двумя производствами для максимизации общего выпуска. Простыми словами, это поиск такого плана работы, чтобы оба завода вместе давали максимальную прибыль при ограниченных возможностях каждого. В экономике эта модель — ключевой инструмент для анализа эффективности распределения ресурсов между альтернативными вариантами производства!

Что почитать?

1) Учебник по олимпиадной экономике: с. 181-191

2) Лекция.

3) И еще лекция.

4) Задачник по экономике (с. 33-35).

Что порешать?

Задача 1

Помните ребят из самой первой недели, которые пытались прооптимизировать функцию расстояния через производную оригинальными методами? Так вот на этот раз им доверили работу по интереснее: необходимо распределить количество между двумя заводами так, чтобы издержки были наименьшими, и найти эти суммарные издержки $TC(Q)$ . Известно, что издержки на одном заводе равны $TC_1 = Q_1^2 + 10Q_1$ , а на другом — $TC_2 = 2Q_2^2 + 70Q_2$ .

а) Первый двоечник решил, что нужно использовать только первый завод, потому что общие издержки на нем всегда будут ниже, чем на другом, поэтому и производить на нем будет оптимально. В чем он не прав?

б) Второй поддержал идею первого о том, что использовать, конечно, нужно исключительно первый завод. Однако аргументировал это по-другому: «даже если бы когда-то оказалось, что общие издержки на первом заводе выше, но предельные-то издержки на первом всегда лежат ниже, так что точно выгодно переместить производство именно туда». Найдите величины, о которых говорит второй двоечник, и объясните, в чем ошибка этого решения?

в) Третий двоечник подумал-подумал, и решил, что стоит просто поделить выпуск пополам между двумя заводами. Найдите, что получил в ответе третий ученик. Почему и это решение, к сожалению, неправильное? Верно ли в общем виде (то есть для любых функций издержек), что $TC = TC_1(Q_1) + TC_2(Q_2) \leq TC_1(0.5Q) + TC_2(0.5Q)$ ?

г) Ну и как в прошлый раз давайте покажем ребятам, как правильно решать задачу, потому что сдавать ответ совсем скоро, а на кону уже не двойка по физике, а реальные деньги.

Решение

а) На самом деле это иллюзия, что на первом заводе издержки ниже, потому что мы смотрим на функцию и видим, что коэффициенты при всех слагаемых меньше, чем на втором заводе. Однако такой подход работает, если мы считаем, что $Q_1 = Q_2$ . Но мы же можем как-то распределять выпуск между двумя заводами так, чтобы на первом заводе было побольше, а на втором — поменьше, и тогда издержки будут ниже.

б) $MC_1 = 2Q_1 + 10$

$MC_2 = 4Q_2 + 70$

И снова эта иллюзия, что предельные издержки на втором заводе всюду выше. Однако если подставить, например, $Q_1 = 100$ и $Q_2 = 0$ , то получится совсем другой результат — нельзя так обращаться с предельными величинами!

в) Функция, которую нашел третий ученик, получается подстановкой $Q_i = 0,5Q$ в функции каждого завода:

$TC = 0.25Q^2 + 5Q + 0.5Q^2 + 35Q = 0.75Q^2 + 40Q$

Это было бы, скорее всего верно, если бы заводы у нас были одинаковые, и тогда из симметрии мы выбрали бы одинаковый выпуск (и то не всегда — сами придумайте контрпример). Тут же даже функции разные, а значит неочевидно, что надо всегда делить выпуск пополам.

Доказательство утверждения в общем виде (от противного): Пусть мы нашли такую оптимальную функцию издержек, для которых не выполняется указанное неравенство, то есть $TC = TC_1(Q_1) + TC_2(Q_2) > TC_1(0.5Q) + TC_2(0.5Q)$ . Но тогда мы можем перейти хотя бы к распределению пополам (которое всегда доступно) и точно не увеличить издержки. Следовательно, найденная функция была неоптимальной (противоречие).

г) Для этой задачи удобно воспользоваться предельными издержками и приравнять их:

$MC_1 = 2Q_1 + 10 = 4Q_2 + 70$

$Q_1 = 2Q_2 + 30$

$Q = 3Q_2 + 30 \quad \Rightarrow \quad Q_2 = \frac{Q}{3} - 10 \quad Q_1 = \frac{2Q}{3} + 10$

Добавим ограничение на неотрицательность и получим финальный ответ:

$TC = \begin{cases} TC_1(Q) = Q^2 + 10Q, & Q \leq 30 \\ TC_1\left(\frac{2Q}{3} + 10\right) + TC_2\left(\frac{Q}{3} - 10\right) = \frac{2}{3}Q^2 + 30Q - 300, & Q > 30 \end{cases}$

2. «Экономика «Звездных войн»

Фирма «Люк 7.0» производит лазерные мечи нового класса. Мечи могут производиться на трех разных заводах. Поступил заказ на 100 лазерных мечей, и необходимо распределить их производство по трем заводам оптимальным образом (так, чтобы суммарные издержки производства всей партии были минимальны).

Первый завод «Татуин» может производить неограниченное количество мечей, расходы на производство каждого составят 10 датариев, никаких других издержек фирма не понесет.

Второй завод «Набу» также может производить неограниченное количество мечей, но общие издержки производства $q$ мечей на нем равны (в датариях):

$TC(q) = \begin{cases} 25 + 5q, & \text{если } q > 0, \\ 0, & \text{если } q = 0. \end{cases}$

Третий завод «Алдераан» может производить мечи только комплектами по двадцать, производство каждого из первых 20 мечей обойдется в 4 датария, в каждой последующей двадцатке один меч стоит на 10 % больше, чем в предыдущей.

Сколько мечей будет произведено на каждом заводе?

Решение

Можно заметить, что если нужно произвести не более 100 мечей, то на заводе "Татуин " мечи производить будет невыгодно. Действительно, на заводе "Алдераан " даже при производстве пятого комплекта издержки на один меч будут ниже чем на заводе "Татуин ": первые 20 мечей можно произвести за 80 датариев, вторые — за 88, третьи — меньше, чем за 97, четвертые — меньше, чем за 107, пятые — меньше, чем за 118. Таким образом, самый дорогой меч на "Алдераане " обойдется менее чем в 6 датариев. Значит, на заводе "Татуин " мечи производить не нужно, а все 100 мечей будут произведены на заводах "Алдераан " и "Набу ".

Так как фиксированные издержки у "Алдераан " отсутствуют, то пока производство одного меча стоит меньше на "Алдераан ", там и следует производить. Таким образом, первые 60 мечей точно будут произведены на этом заводе. Если далее начать производить мечи на "Набу ", то издержки производства дополнительного меча будут равны 5, что ниже, чем на "Алдераан ". Следовательно, если использовать "Набу ", то там надо производить все оставшиеся мечи. Однако за использование "Набу " нужно заплатить 25, и эти расходы нужно сравнить с экономией от производства последних 40 мечей на "Набу " вместо "Алдераан ". Производство последних 40 мечей на "Набу " обойдется в 25+5*40=225, а на "Алдераан " — меньше, чем в 107+118=225 (см. выше). Значит, на заводе "Алдераан " будут произведены все 100 мечей.