Ботаем экономику: Старшие - 4

а) Воспользуемся монотонным преобразованием и теперь будем всё делать с функцией $U = xy$

Тогда $U = (12 - 0.5x)x = 12x - 0.5x^2 \to \max$

Это парабола ветвями вниз, следовательно, максимум в вершине: $x = 12 \quad y = 6.$

В случае произвольных значений $P_x и P_y$ получим:

$x = \frac{120}{2P_x} \quad y = \frac{120}{2P_y}$

**Примечание:** Есть полезная формула для полезности вида $U = x^a y^b: x = \frac{a}{a + b} \cdot \frac{I}{P_x} \quad y = \frac{b}{a + b} \cdot \frac{I}{P_y}.$ Попробуйте ее доказать самостоятельно, ведь на олимпиаде ее тоже надо доказывать.

б) Зафиксируем уровень полезности $\overline{U}: y = \frac{\overline{U}}{x}$. Переходим к минимизации необходимых затрат:

$I = P_x \cdot x + P_y \cdot \frac{\overline{U}}{x} \to \min$

$I' = P_x - \frac{P_y \cdot \overline{U}}{x^2} = 0$

По методу интервалов найдем минимум: $x = √{\frac{P_y}{P_x}} √U \quad y = √{\frac{P_x}{P_y}} √U$

Эти функции называются хиксианскими спросами.

в) Подставим нашу оптимальную точку в функцию полезности — это в микроэкономике называется «косвенная полезность» и обозначается буквой $V$:

$V = \frac{I^2}{4P_xP_y}$

Теперь подставим оптимумы в функцию расходов:

$I = 2 √U \cdot √P_x \cdot √P_y$

Заметим, что это две одинаковые записи в случае, когда мы закрепили полезность на уровне максимальной полезности при данном доходе, или наоборот — доход на уровне максимально доступного нам. То есть функции равны в точке оптимума.

Бюджетное ограничение Элли: $pq \leqslant 20 или q \leqslant \frac{20}{p}.$Промаксимизируем полезность:

$U = -q^2 + (42 - 2p)q \rightarrow \underset{q \geqslant 0}{\max}$

$q^* = \frac{42 - 2p}{2} = 21 - p$

Очевидно, что количество товара не может быть отрицательным, поэтому $p \leqslant 21$.

Проверим, при каких значениях цены выполняется бюджетное ограничение:

$21 - p \leqslant \frac{20}{p} \Rightarrow p^2 - 21p + 20 \geqslant 0 \Rightarrow (p - 20)(p - 1) \geqslant 0$

$\left[ \begin{gathered} 0 \leqslant p \leqslant 1 \\ 20 \leqslant p \leqslant 21 \end{gathered} \right.$

Если бюджетное ограничение не выполняется, значит Элли тратит больше денег, чем имеет, поэтому в этом случае оптимальное потребление Магов в Шогилу будет равно $\frac{20}{p}$, т.е. она просто потратит весь свой доход.

Так можем записать спрос Элли на Маги в Шогилу:

$q^d = \begin{cases} 21 - P; & 0 \leqslant P \leqslant 1 \\ \frac{20}{P}; & 1 < P < 20 \\ 21 - P; & 20 \leqslant P \leqslant 21 \\ 0; & P > 21 \end{cases}$

Теперь добавим к спросу Элли спрос её подруги Йонмель и получим рыночный спрос на Маги в Шогилу в зависимости от $\alpha:$

$Q^d = \begin{cases} 21 + \alpha - P; & 0 \leqslant P \leqslant 1 \\ \frac{20}{P} + \alpha; & 1 < P < 20 \\ 21 + \alpha - P; & 20 \leqslant P \leqslant 21 \\ 0; & P > 21 \end{cases}$

Рассмотрим 4 случая, в каждом из которых будем максимизировать прибыль монополиста.

1 случай: $Q^d = 21 - P,~ P \in [0, 1] \cup [20, 21]$

$\Pi_1 = 21P - P^2 - 126 + 6P = -P^2 + 27P - 126$

Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум — в вершине.

$P^* = \frac{27}{2} = 13,5 \notin [0, 1] \cup [20, 21]$

Видно, что найденная цена не принадлежит нужному промежутку, поэтому выбираем ближайшее значение из промежутка (поскольку имеем дело с параболой ветвями вниз, чем дальше мы от вершины, тем меньше значение функции). Значит $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_1 = -400 + 540 - 126 = 14.$

2 случай: $Q^d = \frac{20}{P},~ P \in [1, 20]$

$\Pi_2 = 20 - \frac{120}{P}$

$\Pi'_2 = \frac{120}{P^2} > 0 \forall P$

Получили, что производная всегда положительна, значит функция всегда возрастает, поэтому выбираем наибольшее возможное значение цены: $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_2 = 20 - 6 = 14.$

3 случай: $Q^d = 21 + \alpha - P,~ P \in [0, 1] \cup [20, 21]$

$\Pi_3 = 21P + \alpha P - P^2 - 126 - 6\alpha + 6P - \alpha^2 = -P^2 + (27 + \alpha)P - 126 - 6\alpha - \alpha^2$

Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз по $P$, поэтому максимум — в вершине.

$P^* = \frac{27 + \alpha}{2} \Rightarrow \alpha \in [13, 15]$

Подставим найденное значение цены в прибыль и промаксимизируем по $\alpha$:

$\Pi_3 = \frac{(27 + \alpha)^2}{4} - 126 - 6\alpha - \alpha^2 = -0,75\alpha^2 + 7,5\alpha + 56,25$

Функция прибыли имеет вид параболы с ветвями вниз, поэтому максимум — в вершине.

$\alpha^* = 5 \notin [13, 15]$

Найденное оптимальное значение не принадлежит промежутку, поэтому будем брать ближайшее допустимое, т.е. $\alpha^* = 13 \Rightarrow \Pi_3 = -0,75\cdot 169 + 7,5 \cdot 13 + 56,25 = 27.$

4 случай: $Q^d = \frac{20}{P} + \alpha,~ P \in [1, 20]$

$\Pi_4 = 20 + \alpha P - \frac{120}{P} - 6\alpha - \alpha^2 = -\alpha^2 + (P - 6)\alpha + 20 - \frac{120}{P}$

Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз относительно $\alpha$, поэтому максимум — в вершине.

$\alpha^* = \frac{P - 6}{2}$

Подставим полученное значение обратно в прибыль:

$\Pi_4 = \frac{(P - 6)^2}{4} + 20 - \frac{120}{P}$

$\Pi'_4 = \frac{P - 6}{2} + \frac{120}{P^2} > 0~ \text{при допустимых} ~\alpha$

Получили, что производная всегда положительна на ограничении, значит будем выбирать наибольшее возможное $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_4 = 49 + 20 - 6 = 63.$

Таким образом, наибольшее значение прибыли получили в четвёртом случае. В этом случае монополист выбирает $P^* = 20$, а значит $\alpha = \frac{20 - 6}{2} = 6$, а прибыль равна 63.

в) Точно так же, как и в предыдущем пункте рассмотрим 4 случая.

1 случай: $Q^d = 21 - P,~ P \in [0, 1] \cup [20, 21]$

$\Pi_1 = 21P - P^2 - 210 + 10P = -P^2 + 31P - 210$

Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, значит максимум — в вершине.

$P^* = \frac{31}{2} = 15,5 \notin [0, 1] \cup [20, 21]$

Найденное оптимальное значение не принадлежит допустимому промежутку, поэтому выбираем ближайшее: $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_1 = -400 + 620 - 210 = 10.$

2 случай: $Q^d = \frac{20}{P},~ P \in [1, 20]$

$\Pi_2 = 20 - \frac{200}{P}$

$\Pi'_2 = \frac{200}{P^2} > 0$

Получили, что производная всегда положительна, значит функция всегда возрастает, поэтому выбираем наибольшее возможное $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_2 = 20 - 10 = 10.$

3 случай: $Q^d = 21 + \alpha - P,~ P \in [0, 1] \cup [20, 21]$

$\Pi_3 = (21 - P)P + \alpha P - 10(21 - P) - 10\alpha - 5\alpha^2 - 6 = -5\alpha^2 + (P - 10)\alpha + (21 - P)(P - 10) - 6$

Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум — в вершине.

$\alpha^* = \frac{P - 10}{10}$

Подставим найденное значение цены обратно в прибыль:

$\Pi_3 = \frac{(P - 10)^2}{20} - (P - 21)(P - 10) - 6$

$\Pi'_3 = \frac{P - 10}{10} - P + 10 - P + 21 - 6 = 0$

$P^* = \frac{240}{19} \notin [0, 1] \cup [20, 21]$

Найденное оптимальное значение не принадлежит оптимальному промежутку, выбираем ближайшее: $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_3 = 5 + 10 - 6 = 9.$

4 случай: $Q^d = \frac{20}{P} + \alpha,~ P \in [1, 20]$

$\Pi_4 = 20 + \alpha P - \frac{200}{P} - 10\alpha - 5\alpha^2 - 6 = -5\alpha^2 + (P - 10)\alpha + 14 - \frac{200}{P}$

Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз относительно $\alpha$, значит максимум — в вершине.

$\alpha^* = \frac{P - 10}{10}$

Подставим найденное значение обратно в прибыль:

$\Pi_4 = \frac{(P - 10)^2}{20} - \frac{200}{P} + 14$

$\Pi'_4 = \frac{P - 10}{10} + \frac{200}{P^2} > 0$

Получили, что производная положительна для всех допустимых $P$, значит функция все время возрастает, поэтому выбираем наибольшее возможное $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_4 = 5 - 10 + 14 = 9.$

Получили, что наибольшая прибыль монополиста при новых условиях равна $10$ и достигается в условиях отсутствия торговли с Йонмель, т.е. при $\alpha = 0$.