Оптимизация полезности: выбор из нескольких вариантов
Оптимизация функции — это поиск её наилучшего значения. Простыми словами, оптимизация помогает найти максимум прибыли или минимум затрат, исследуя поведение функции. В экономике и управлении оптимизация — это ключевой инструмент для принятия эффективных решений, расчёта оптимальных объёмов производства и управления ресурсами!
Что почитать?
1) Задачник по экономике (с. 16-17).
Что порешать?
Задача 1
Антон тратит деньги на два блага: раф карамельный ($x$) и раф лесной орех ($y$). Известно, что полезность Антона задается функцией $U = x^2y^2$, где $x$, $y$ — количество стаканчиков соответствующего кофе. Эти товары продаются по ценам $P_x = 5$ и $P_y = 10$. Пусть изначально у Антона есть 120 д.е.
а) Найдите, сколько Антон купит кофе в оптимуме, если он хочет получить как можно большую полезность. Найдите функции $x^*$ и $y^*$ в зависимости от произвольных $P_x$ и $P_y$.
б) Пусть теперь Антон решает немного другую задачу: он устанавливает какой-то уровень полезности, ниже которого он не хочет опускаться, а затем минимизирует то количество денег, которое потратит при условии получения этой зафиксированной полезности. Найдите функции $x^\star$ и $y^\star$ в зависимости от произвольных $P_x$ и $P_y$ при таком условии.
в) $\star$ Не проводя никаких действий с функциями, которые вы получили, предположите, могут ли точки оптимума в пунктах (а) и (б) когда-то совпасть? Покажите этот случай или докажите, что такое невозможно.
а) Воспользуемся монотонным преобразованием и теперь будем всё делать с функцией $U = xy$
Тогда $U = (12 - 0.5x)x = 12x - 0.5x^2 \to \max$
Это парабола ветвями вниз, следовательно, максимум в вершине: $x = 12 \quad y = 6$.
В случае произвольных значений $P_x$ и $P_y$ получим:
$x = \frac{120}{2P_x} \quad y = \frac{120}{2P_y}$
**Примечание:** Есть полезная формула для полезности вида $U = x^a y^b$: $x = \frac{a}{a + b} \cdot \frac{I}{P_x} \quad y = \frac{b}{a + b} \cdot \frac{I}{P_y}$. Попробуйте ее доказать самостоятельно, ведь на олимпиаде ее тоже надо доказывать.
б) Зафиксируем уровень полезности $\overline{U}$: $y = \frac{\overline{U}}{x}$. Переходим к минимизации необходимых затрат:
$I = P_x \cdot x + P_y \cdot \frac{\overline{U}}{x} \to \min$
$I' = P_x - \frac{P_y \cdot \overline{U}}{x^2} = 0$
По методу интервалов найдем минимум: $x = \sqrt{\frac{P_y}{P_x}} \sqrt{U} \quad y = \sqrt{\frac{P_x}{P_y}} \sqrt{U}$
Эти функции называются хиксианскими спросами.
в) Подставим нашу оптимальную точку в функцию полезности — это в микроэкономике называется «косвенная полезность» и обозначается буквой $V$:
$V = \frac{I^2}{4P_xP_y}$
Теперь подставим оптимумы в функцию расходов:
$I = 2 \sqrt{U} \cdot \sqrt{P_x} \cdot \sqrt{P_y}$
Заметим, что это две одинаковые записи в случае, когда мы закрепили полезность на уровне максимальной полезности при данном доходе, или наоборот — доход на уровне максимально доступного нам. То есть функции равны в точке оптимума.
Задача 2
Я больше не буду играть в эту игру
Девочка Элли располагает доходом $I = 20$ и тратит его исключительно на потребление уникального товара под названием «Маги в Шогилу». Полезность Элли задается функцией $U = -q^2 + 42q - 2pq$, где $q$ — количество потребленных Магов в Шогилу, $p$ — цена, по которой Элли их купила. Считайте, что Элли воспринимает цену $p$ как заданную.
Маги в Шогилу продает фирма-монополист «Голлы Ралександра», его функция издержек задается как $TC = 6q$. Фирма максимизирует свою прибыль. При этом монополист может выбрать заплатить $\alpha^2$ денежных единиц загадочной подруге Элли — Йонмель, которая в таком случае будет готова приобрести $\alpha$ единиц Магов в Шогилу по той же цене, что и Элли. Если Элли приобретет $0$ единиц товара, Йонмель не купит ничего и обиженно уйдет вместе с подругой.
а) Выведите рыночный спрос в зависимости от $\alpha$.
б) Определите значение $\alpha$, которое выберет монополист, и найдите прибыль, которую он получит.
в) Предположим теперь, что деятельностью «Голлы Ралександра» недоволен верховный орган правительства — Суд Фортуны. Через особые каналы воздействия Суд Фортуны добился того, что издержки монополиста возросли до $TC = 10q$, а плата, которую необходимо отдавать Йонмель, возросла до $5\alpha^2 + 6$. Определите новое равновесное значение $\alpha$ и прибыль монополиста.
Бюджетное ограничение Элли: $pq \leqslant 20$ или $q \leqslant \frac{20}{p}$. Промаксимизируем полезность:
$U = -q^2 + (42 - 2p)q \rightarrow \underset{q \geqslant 0}{\max}$
$q^* = \frac{42 - 2p}{2} = 21 - p$
Очевидно, что количество товара не может быть отрицательным, поэтому $p \leqslant 21$.
Проверим, при каких значениях цены выполняется бюджетное ограничение:
$21 - p \leqslant \frac{20}{p} \Rightarrow p^2 - 21p + 20 \geqslant 0 \Rightarrow (p - 20)(p - 1) \geqslant 0$
$\left[ \begin{gathered} 0 \leqslant p \leqslant 1 \\ 20 \leqslant p \leqslant 21 \end{gathered} \right.$
Если бюджетное ограничение не выполняется, значит Элли тратит больше денег, чем имеет, поэтому в этом случае оптимальное потребление Магов в Шогилу будет равно $\frac{20}{p}$, т.е. она просто потратит весь свой доход.
Так можем записать спрос Элли на Маги в Шогилу:
$q^d = \begin{cases} 21 - P; & 0 \leqslant P \leqslant 1 \\ \frac{20}{P}; & 1 < P < 20 \\ 21 - P; & 20 \leqslant P \leqslant 21 \\ 0; & P > 21 \end{cases}$
Теперь добавим к спросу Элли спрос её подруги Йонмель и получим рыночный спрос на Маги в Шогилу в зависимости от $\alpha$:
$Q^d = \begin{cases} 21 + \alpha - P; & 0 \leqslant P \leqslant 1 \\ \frac{20}{P} + \alpha; & 1 < P < 20 \\ 21 + \alpha - P; & 20 \leqslant P \leqslant 21 \\ 0; & P > 21 \end{cases}$
Рассмотрим 4 случая, в каждом из которых будем максимизировать прибыль монополиста.
1 случай: $Q^d = 21 - P,~ P \in [0, 1] \cup [20, 21]$
$\Pi_1 = 21P - P^2 - 126 + 6P = -P^2 + 27P - 126$
Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум — в вершине.
$P^* = \frac{27}{2} = 13,5 \notin [0, 1] \cup [20, 21]$
Видно, что найденная цена не принадлежит нужному промежутку, поэтому выбираем ближайшее значение из промежутка (поскольку имеем дело с параболой ветвями вниз, чем дальше мы от вершины, тем меньше значение функции). Значит $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_1 = -400 + 540 - 126 = 14$.
2 случай: $Q^d = \frac{20}{P},~ P \in [1, 20]$
$\Pi_2 = 20 - \frac{120}{P}$
$\Pi'_2 = \frac{120}{P^2} > 0 \forall P$
Получили, что производная всегда положительна, значит функция всегда возрастает, поэтому выбираем наибольшее возможное значение цены: $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_2 = 20 - 6 = 14$.
3 случай: $Q^d = 21 + \alpha - P,~ P \in [0, 1] \cup [20, 21]$
$\Pi_3 = 21P + \alpha P - P^2 - 126 - 6\alpha + 6P - \alpha^2 = -P^2 + (27 + \alpha)P - 126 - 6\alpha - \alpha^2$
Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз по $P$, поэтому максимум — в вершине.
$P^* = \frac{27 + \alpha}{2} \Rightarrow \alpha \in [13, 15]$
Подставим найденное значение цены в прибыль и промаксимизируем по $\alpha$:
$\Pi_3 = \frac{(27 + \alpha)^2}{4} - 126 - 6\alpha - \alpha^2 = -0,75\alpha^2 + 7,5\alpha + 56,25$
Функция прибыли имеет вид параболы с ветвями вниз, поэтому максимум — в вершине.
$\alpha^* = 5 \notin [13, 15]$
Найденное оптимальное значение не принадлежит промежутку, поэтому будем брать ближайшее допустимое, т.е. $\alpha^* = 13 \Rightarrow \Pi_3 = -0,75\cdot 169 + 7,5 \cdot 13 + 56,25 = 27$.
4 случай: $Q^d = \frac{20}{P} + \alpha,~ P \in [1, 20]$
$\Pi_4 = 20 + \alpha P - \frac{120}{P} - 6\alpha - \alpha^2 = -\alpha^2 + (P - 6)\alpha + 20 - \frac{120}{P}$
Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз относительно $\alpha$, поэтому максимум — в вершине.
$\alpha^* = \frac{P - 6}{2}$
Подставим полученное значение обратно в прибыль:
$\Pi_4 = \frac{(P - 6)^2}{4} + 20 - \frac{120}{P}$
$\Pi'_4 = \frac{P - 6}{2} + \frac{120}{P^2} > 0~ \text{при допустимых} ~\alpha$
Получили, что производная всегда положительна на ограничении, значит будем выбирать наибольшее возможное $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_4 = 49 + 20 - 6 = 63$.
Таким образом, наибольшее значение прибыли получили в четвёртом случае. В этом случае монополист выбирает $P^* = 20$, а значит $\alpha = \frac{20 - 6}{2} = 6$, а прибыль равна 63.
в) Точно так же, как и в предыдущем пункте рассмотрим 4 случая.
1 случай: $Q^d = 21 - P,~ P \in [0, 1] \cup [20, 21]$
$\Pi_1 = 21P - P^2 - 210 + 10P = -P^2 + 31P - 210$
Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, значит максимум — в вершине.
$P^* = \frac{31}{2} = 15,5 \notin [0, 1] \cup [20, 21]$
Найденное оптимальное значение не принадлежит допустимому промежутку, поэтому выбираем ближайшее: $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_1 = -400 + 620 - 210 = 10$.
2 случай: $Q^d = \frac{20}{P},~ P \in [1, 20]$
$\Pi_2 = 20 - \frac{200}{P}$
$\Pi'_2 = \frac{200}{P^2} > 0$
Получили, что производная всегда положительна, значит функция всегда возрастает, поэтому выбираем наибольшее возможное $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_2 = 20 - 10 = 10$.
3 случай: $Q^d = 21 + \alpha - P,~ P \in [0, 1] \cup [20, 21]$
$\Pi_3 = (21 - P)P + \alpha P - 10(21 - P) - 10\alpha - 5\alpha^2 - 6 = -5\alpha^2 + (P - 10)\alpha + (21 - P)(P - 10) - 6$
Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум — в вершине.
$\alpha^* = \frac{P - 10}{10}$
Подставим найденное значение цены обратно в прибыль:
$\Pi_3 = \frac{(P - 10)^2}{20} - (P - 21)(P - 10) - 6$
$\Pi'_3 = \frac{P - 10}{10} - P + 10 - P + 21 - 6 = 0$
$P^* = \frac{240}{19} \notin [0, 1] \cup [20, 21]$
Найденное оптимальное значение не принадлежит оптимальному промежутку, выбираем ближайшее: $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_3 = 5 + 10 - 6 = 9$.
4 случай: $Q^d = \frac{20}{P} + \alpha,~ P \in [1, 20]$
$\Pi_4 = 20 + \alpha P - \frac{200}{P} - 10\alpha - 5\alpha^2 - 6 = -5\alpha^2 + (P - 10)\alpha + 14 - \frac{200}{P}$
Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз относительно $\alpha$, значит максимум — в вершине.
$\alpha^* = \frac{P - 10}{10}$
Подставим найденное значение обратно в прибыль:
$\Pi_4 = \frac{(P - 10)^2}{20} - \frac{200}{P} + 14$
$\Pi'_4 = \frac{P - 10}{10} + \frac{200}{P^2} > 0$
Получили, что производная положительна для всех допустимых $P$, значит функция все время возрастает, поэтому выбираем наибольшее возможное $P^* = 20 \Rightarrow \Pi_4 = 5 - 10 + 14 = 9$.
Получили, что наибольшая прибыль монополиста при новых условиях равна $10$ и достигается в условиях отсутствия торговли с Йонмель, т.е. при $\alpha = 0$.