Ботаем экономику: Старшие - 30

а) Воспользуемся монотонным преобразованием и теперь будем всё делать с функцией $U = xy$

Тогда $U = (12 - 0.5x)x = 12x - 0.5x^2 \to \max$

Это парабола ветвями вниз, следовательно, максимум в вершине: $x = 12 \quad y = 6.$

В случае произвольных значений $P_x и P_y$ получим:

$x = \frac{120}{2P_x} \quad y = \frac{120}{2P_y}$

**Примечание:** Есть полезная формула для полезности вида $U = x^a y^b: x = \frac{a}{a + b} \cdot \frac{I}{P_x} \quad y = \frac{b}{a + b} \cdot \frac{I}{P_y}.$ Попробуйте ее доказать самостоятельно, ведь на олимпиаде ее тоже надо доказывать.

б) Зафиксируем уровень полезности $\overline{U}: y = \frac{\overline{U}}{x}$. Переходим к минимизации необходимых затрат:

$I = P_x \cdot x + P_y \cdot \frac{\overline{U}}{x} \to \min$

$I' = P_x - \frac{P_y \cdot \overline{U}}{x^2} = 0$

По методу интервалов найдем минимум: $x = √{\frac{P_y}{P_x}} √U \quad y = √{\frac{P_x}{P_y}} √U$

Эти функции называются хиксианскими спросами.

в) Подставим нашу оптимальную точку в функцию полезности — это в микроэкономике называется «косвенная полезность» и обозначается буквой $V$:

$V = \frac{I^2}{4P_xP_y}$

Теперь подставим оптимумы в функцию расходов:

$I = 2 √U \cdot √P_x \cdot √P_y$

Заметим, что это две одинаковые записи в случае, когда мы закрепили полезность на уровне максимальной полезности при данном доходе, или наоборот — доход на уровне максимально доступного нам. То есть функции равны в точке оптимума.

Можно заметить, что если нужно произвести не более 100 мечей, то на заводе "Татуин " мечи производить будет невыгодно. Действительно, на заводе "Алдераан " даже при производстве пятого комплекта издержки на один меч будут ниже чем на заводе "Татуин ": первые 20 мечей можно произвести за 80 датариев, вторые — за 88, третьи — меньше, чем за 97, четвертые — меньше, чем за 107, пятые — меньше, чем за 118. Таким образом, самый дорогой меч на "Алдераане " обойдется менее чем в 6 датариев. Значит, на заводе "Татуин " мечи производить не нужно, а все 100 мечей будут произведены на заводах "Алдераан " и "Набу ".

Так как фиксированные издержки у "Алдераан " отсутствуют, то пока производство одного меча стоит меньше на "Алдераан ", там и следует производить. Таким образом, первые 60 мечей точно будут произведены на этом заводе. Если далее начать производить мечи на "Набу ", то издержки производства дополнительного меча будут равны 5, что ниже, чем на "Алдераан ". Следовательно, если использовать "Набу ", то там надо производить все оставшиеся мечи. Однако за использование "Набу " нужно заплатить 25, и эти расходы нужно сравнить с экономией от производства последних 40 мечей на "Набу " вместо "Алдераан ". Производство последних 40 мечей на "Набу " обойдется в 25+5*40=225, а на "Алдераан " — меньше, чем в 107+118=225 (см. выше). Значит, на заводе "Алдераан " будут произведены все 100 мечей.

Так как из того, что q = √L$ следует, что $L = q^2$, можно записать затраты фирмы на оплату труда как $5 \cdot L = 5 \cdot q^2$. При этом, так как малое предприятие может использовать не больше 4 единиц труда, то его выпуск не превышает двух тонн продукции $q \leq 2$.

Рассмотрим сначала ситуацию, когда фирма не сталкивается с налогом. В этом случае прибыль фирмы имеет вид: $pr = p \cdot q - 5 \cdot q^2$. Это парабола с ветвями, направленными вниз, и с вершиной в точке $q = 0.1p$. Эта вершина удовлетворяет условию $q < 2$ при $p < 20$. Таким образом, при $p < 20$ оптимально быть малым предприятием, даже если не учитывать налог (а уж с налогом и подавно).

Теперь рассмотрим ситуацию, когда $p \geq 20$. В этой ситуации фирме будет выгодно либо производить ровно две тонны продукции (максимальный выпуск, при котором не надо платить налог), либо производить больше двух тонн и платить налог.

Если фирма производит ровно две тонны продукции, то ее прибыль составит:

$pr_1 = p \cdot 2 - 20 = (p - 10) \cdot 2$

Если фирма будет производить больше двух тонн, то ее прибыль будет иметь вид:

$pr = p \cdot q - 5 \cdot q^2 - 10 \cdot q$ (относительно $q$ — это парабола с ветвями, направленными вниз).

Ее максимальное значение будет достигаться в вершине параболы при $q = 0.1p - 1$ и составит:

$pr_2 = (p - 10)^2 \cdot 0.05$

В каком случае фирма решит выбрать первый вариант из двух? В том случае, когда прибыль от него не меньше, чем от второго:

$(p - 10) \cdot 2 \geq (p - 10)^2 \cdot 0.05$

С учетом того, что мы рассматриваем ситуацию, когда $p \geq 20$, это неравенство легко решить:

$p \leq 50$

Итак, теперь мы знаем, что при цене от 20 до 50 д.е. фирма будет производить ровно две тонны продукции. А при цене больше 50 д.е. ее выпуск составит $q = 0.1p - 1.$

Теперь можно записать функцию предложения фирмы:

$q_s = \begin{cases} 0.1p, & \text{при } p < 20 \\ 2, & \text{при } 20 \leq p \leq 50 \\ 0.1p - 1, & \text{при } p > 50 \end{cases}$

а) Поскольку мы не должны производить Y, сначала производим X на Ниф-Нифе, потом на Нуф-Нуфе:

$Z = \begin{cases} 12 - 0.2X, & \text{если } X \in [0; 10] \\ 60 - 5X, & \text{если } X \in [10; 12] \end{cases}$

б) Вот теперь начинаются махания руками: давайте произведем максимальное количество Z при Y = 12. Как же нам распределить эти Y — надо сравнить альтернативные издержки. Наименьшие альтернативные издержки у Ниф-Нифа (OC_y = 0.4), потом у Нуф-Нуфа (OC_y = 0.5) и последнее — у Наф-Нафа (OC_y = 2). Тогда, чтобы количество Z было наибольшим, надо произвести 5 Y у Ниф-Нифа и оставшиеся 7 Y у Нуф-Нуфа. Тогда всего $Z_{max} = 10 + 4 \cdot \frac{1}{8} = 10.5$

Теперь начинаем производить X: можно это сделать у Нуф-Нуфа $(OC_x = 1)$ или у Наф-Нафа $(OC_x = 5)$. Но есть еще вариант: перекинуть Y с Ниф-Нифа на Нуф-Нуфа и за счет этого произвести X у Ниф-Нифа: тогда мы потеряем 0.5 единиц Z и произведем 2 единицы X — выглядит неплохо (по сути альтернативные издержки равны $OC_x = 0.125$). Тогда первые две единицы X можно произвести у Ниф-Нифа.

Дальше придется переносить Y к менее эффективному Наф-Нафу. Тогда при переносе будем терять 2 единицы Z и получать 2 единицы X, то есть альтернативные издержки равны $OC_x = 1$. Так мы получим еще 8 X, потеряем 8 Y.

Наконец, перенесем Y от Нуф-Нуфа к Наф-Нафу: тогда получим еще 0.5 X и потеряем 2 единицы Z ($OC_x = 4$).

Итоговая функция будет:

$Z = \begin{cases} 10.5 - 0.125X, & \text{если } X \in [0; 2] \\ 12 - X, & \text{если } X \in [2; 10] \\ 42 - 4X, & \text{если } X \in [10; 10.5] \end{cases}$