Ботаем экономику: Старшие

Рефреш

Мы повторяем пройденный материал, ниже выложены Рефреш задачки!

Что порешать?

Задача 1

Ааааа налоги

В Свободной Нонеконкурентной стране работает единственная фирма, которая имеет доступ к двум рынкам — Нашинскому и Ихнему.

На Нашинском рынке спрос задается функцией

$Q_1 = 200 - 2P1$

а вот на Ихнем рынке потребители готовы купить сколько угодно продукции за

$P_2 = 80$

Сам же монополист производит свой продукт с издержками

$TC = Q^2$

Какие цены и количества производитель продаст на каждом рынке в равновесии, если он может дискриминировать две группы потребителей?

Государство ввело налог на экспорт (продажу товара Ихним) в размере t денежных единиц за каждую проданную штуку. При каких значениях t монополист останется только на одном из рынков?

При какой ставке налога на экспорт достигается максимум налоговых сборов?

Государство решило заботиться не только о налоговых сборах, но и об общем благосостоянии, которое состоит из излишка производителя, излишка Нашинских потребителей и излишка государства. Какую ставку налога установит государство в этом случае?

Решение

(a) Поскольку монополист может дискриминировать, сложим MR1 и MR2 по горизонтали (аналогично сложению заводов по MC). Первые единицы мы будем продавать по

$MR_1 = 100 - Q_1$

потому что вначале предельная выручка лежит выше

$MR_2 = 80$

Однако после $Q_1 = 20$ продавать на первый рынок будет невыгодно, поэтому начнем продавать оставшееся количество на внешний рынок. Итоговая функция общей предельной выручки:

$MR ={ 100 - Q, при Q в [0; 20] // 80, при Q > 20}$

Предельные издержки:

$MC = 2Q$

Равновесие:

$2Q = 80$

$Q = 40$

Отсюда:

$Q1 = 20$

$P1 = 90$

$Q2 = 20$

$P2 = 80$

(b) Цена, которую будет получать монополист на втором рынке за вычетом налога:

$P_2 = 80 - t$

Новая функция MR:

$MR = {100 - Q, при Q в [0; 20 + t] // 80 - t, при Q > 20 + t}$

Чтобы фирма осталась только на внутреннем рынке, пересечение MR и MC должно быть на первом участке:

$100 - Q = 2Q$

$Q = 100 / 3 ≤ 20 + t$

Отсюда:

$t ≥ 40 / 3$

$t < 40 / 3$

Равновесие:

$80 - t = 2Q$

$Q = 40 - 0.5t$

$Q_1 = 20 + t$

$Q_2 = 20 - 1.5t$

Налог собирается только с экспорта:

$Tx = tQ_2 = 20t - 1.5t^2$

Максимум налоговых сборов достигается в вершине параболы:

$t = 20 / 3$

$Q = 110 / 3$

$Q_1 = 80 / 3$

$Q_2 = 10$

$Tx = 200 / 3$

(d) Излишки:

$Tx = 20t - 1.5t^2$

$CS = Q_1^2 / 4 = (20 + t)^2 / 4$

Прибыль монополиста:

$π = (80 - t)(20 - 1.5t) + (20 + t)(90 - 0.5t) - (40 - 0.5t)^2$

$π = 1800 - 20t + 0.75t^2$

Общественное благосостояние:

$SW = Tx + CS + π$

$SW = 1900 + 10t - 0.5t^2$

Максимум достигается при:

$t = 10$

$Q = 35$

$Q_1 = 30$

$Q_2 = 5$

$SW = 1950$

Картон и Батон

Картон и его альтер эго Батон могут заселять детей и печатать подборки. Они могут работать как вместе, так и раздельно. У них есть всего один час на это дело. Чем больше они работают вместе, тем выше их продуктивность.

Если они проработают t часть от часа вместе, то на одного ребенка и на одну подборку они потратят $1 / (40 + 4t)$ долю от часа.

Если же они работают отдельно, то их производительность постоянна. За один час Картон может заселить 12 детей или напечатать 24 подборки, а Батон наоборот — заселить 24 детей или напечатать 12 подборки.

Найдите КПВ Картона и Батона в решении задач и проблем, если они могут распределять время как хотят.

Решение

Если мы хотим сделать максимальный y, то его выгоднее производить вместе при

$t = 1$

В этом случае совместная КПВ имеет вид:

$y = 40t + 4t^2 - x$

При t = 1 максимальный y равен 44.

Далее выгоднее производить x с помощью первой КПВ с альтернативными издержками:

$y = 12 - 0.5x$

Будем перекидывать долю времени (1 - t) на первую КПВ так, чтобы произвести:

$x = 24 - 24t$

Также часть времени идет на производство y по второй КПВ:

$y = 24 - 24t$

Итоговый выпуск y:

$y = 40t + 4t^2 + 24 - 24t$

Подставим:

$t = 1 - x / 24$

Получим:

$y = 40(1 - x/24) + 4(1 - x/24)^2 + x$

Аналогично получаем второй участок КПВ:

$x = 40(1 - y/24) + 4(1 - y/24)^2 + y$