Ботаем экономику: Старшие

Рефреш

Мы повторяем пройденный материал, ниже выложены Рефреш задачки!

Что порешать?

Задача 1

В каждом пункте вам необходимо найти, какое оптимальное количество x и y нужно приобрести, чтобы получить максимальную полезность (U) при фиксированном количестве денег (I)

$а) U = xy \quad P_x = 10 \quad P_y = 20 \quad I = 100$

$б) U = x^{2024}y^{2024} \quad P_x = 4 \quad P_y = 5 \quad I = 100$

$в) U = x^{52}y^{104} \quad P_x = 5 \quad P_y = 10 \quad I = 100$

$г) U = x_1 + x_2 \quad P_1 = 25 \quad P_2 = 30 \quad I = 100$

$д) ^* U = -(x-40)^2 - (y - 20)^2 \quad P_x = x \quad P_y = y \quad I = 200$

Решение

а) $U = xy \quad P_x = 10 \quad P_y = 20 \quad I = 100$

Это функция Кобба-Дугласа, оптимумы:

$x = \frac{100}{2 \cdot 10} = 5 \quad \quad y = \frac{100}{2 \cdot 20} = 2,5$

б) $U = x^{2024}y^{2024} \quad P_x = 4 \quad P_y = 5 \quad I = 100$

Монотонное преобразование: можно взять корень 2003 степени и решить подобно пункту (а):

$x = \frac{100}{2 \cdot 4} = 12,5 \quad \quad y = \frac{100}{2 \cdot 5} = 10$

в) $U = x^{52}y^{104} \quad P_x = 5 \quad P_y = 10 \quad I = 100$

Это функция Кобба-Дугласа, оптимумы:

$x = \frac{52 \cdot 100}{156 \cdot 5} = \frac{20}{3} \quad \quad y = \frac{52 \cdot 100}{156 \cdot 10} = \frac{10}{3}$

г) $U = x_1 + x_2 \quad P_1 = 25 \quad P_2 = 30 \quad I = 100$

Линейная функция, берем по максимуму то, что дешевле:

$x_1 = 4$

д) * $U = -(x-40)^2 - (y - 20)^2 \quad P_x = x \quad P_y = y \quad I = 200$

Тут удобно решать графически: кривые безразличия и бюджетное ограничение — это окружности. Оптимум будет в точке касания двух окружностей с центрами (0;0) и (40;20). Тогда точка касания лежит на линии, соединяющей два центра: $x = 2y$ . Подставив в бюджетное ограничение $x^2 + y^2 = 200$ , получим $y = 2\sqrt{10}$, $x = 4\sqrt{10}.$

Блиц-блиц скорость без границ

В каждом из следующих случаев необходимо найти равновесие в монополии.

$а) TC = Q^2 \quad Q = 200 - 2P$

$б) TC = 2√Q \quad Q = 100 - P$

$в) TC = Q^2 \quad Q = \frac{100}{P^2}, P \geq 10$

Решение

а) $TC = Q^2 \quad Q = 200 - 2P$

$P = 100 - 0.5Q \quad TR = 100Q - 0.5Q^2 \quad MR = TR'_Q = 100 - Q$

$TC = Q^2 \quad MC = TC'_Q = 2Q$

Поскольку MC не убывают, а MR не возрастает, то оптимум будет в равенстве:

$100 - Q = 2Q \quad Q = \frac{100}{3} \quad P = \frac{250}{3}$

б) $TC = 2√Q \quad Q = 100 - P$

Попробуем воспользоваться предельными величинами:

$P = 100 - Q \quad TR = 100Q - Q^2 \quad MR = TR'_Q = 100 - 2Q$

$TC = 2√Q \quad MC = TC'_Q = \frac{1}{√Q}$

MR нормальные, они не возрастают по Q, а вот условие для MC не выполняется — они убывают. Следовательно, не гарантируется, что оптимум монополиста будет в равенстве $MR = MC$ , и предельными величинами здесь нельзя пользоваться.

Запишем прибыль фирмы и в лоб промаксимизируем ее:

$\pi = TR - TC = 100Q - Q^2 - 2√Q \to \max_{Q \geq 0}$

$\pi'_Q = 100 - 2Q - \frac{1}{√Q} = 0$

$t = √Q \quad \Rightarrow \quad \frac{100t - 2t^3 - 1}{t} = 0 \quad t \geq 0$

Уравнение сверху не решается...

в) $TC = Q^2 \quad Q = \frac{100}{P^2}, P \geq 10$

Попробуем воспользоваться снова предельными величинами:

$TC = Q^2 \quad MC = TC'_Q = 2Q$

$P = \frac{10}{√Q} \quad TR = 10 \sqrt{Q} \quad MR = TR'_Q = \frac{5}{√Q}$

И здесь все хорошо: MC не убывают, MR не возрастают, поэтому оптимум будет в их равенстве:

$2Q = \frac{5}{√Q} \quad Q = √[3]{2.5} \quad P = \frac{100}{√[3]{2.5}} > 10$

3. Совершенноконкурентный рынок межгалактических звездолётов

Спрос задается функцией $Q_d = 180 - 2P$ . На этом рынке работают две фирмы: СлаТе (1) и СунгСам Галаксе (2). Издержки первой фирмы $TC_1 = 0.5Q_1^2 + 40Q_1$ , а издержки второй $TC_2 = Q_2^2 + 20Q_1$ , где $Q_1$ — выпуск первой фирмы, а $Q_2$ — выпуск второй фирмы (да, в функции издержек второй фирмы есть еще выпуск первой, это не очепятка).

а) Придумайте одну причину, почему могла образоваться такая зависимость издержек второй фирмы от выпуска первой.

б) Допустим, рынок действительно совершенноконкурентный. Найдите равновесие на нем $(P, Q, Q_1, Q_2)$ . Какие прибыли получат фирмы в таком равновесии?

в) Пусть теперь форма взаимодействия изменилась: фирмы конкурируют по Курно, то есть одновременно выбирают свой выпуск, считая выпуск другого фиксированным. Какое равновесие будет в этом случае? Как изменится суммарная прибыль фирм по сравнению с пунктом 2?

г) Взаимодействие снова поменялось: теперь вторая фирма выбирает выпуск первой по очереди, а затем первая, видя это решение, подстраивает свой выпуск под него (то есть конкурируют по Штакельбергу по очереди $2 \to 1$ ). Какое равновесие установится в этом случае? Сравните индивидуальные прибыли фирм с пунктом 3.

д) Теперь фирмы объединились в одну большую. Найдите монопольное равновесие. Как изменилась суммарная прибыль фирм по сравнению с пунктами 2–4?

Решение

а) Это отрицательный внешний эффект на другую фирму (например, повышение зарплаты в регионе из-за дополнительного спроса другой фирмы на рынке труда).

б) Предложение обеих фирм:

$P_1 = Q_1 + 40 \quad P_2 = 2Q_2$

$Q = \begin{cases} 0.5P & P < 40 \\ 1.5P - 40 & P \geq 40 \end{cases}$

Равновесие: $1.5P - 40 = 180 - 2P \quad P = \frac{440}{7} \quad Q_1 = \frac{160}{7} \quad Q_2 = \frac{220}{7}$

Найдем прибыль в равновесии:

$\pi_1 = \frac{180}{7} \cdot \frac{440}{7} - \frac{90}{7} \cdot \frac{180}{7} - 40 \cdot \frac{180}{7} = \frac{1800}{7}$

$\pi_2 = \frac{440}{7} \cdot \frac{220}{7} - \frac{220}{7} \cdot \frac{220}{7} - 20 \cdot \frac{180}{7} = \frac{13200}{49}$

в) Максимизируем прибыль, учитывая, что фирмы влияют друг на друга:

$\pi_1 = (90 - 0.5Q_1 - 0.5Q_2)Q_1 - 0.5Q_1^2 - 40Q_1 \to \max_{Q_1 \geq 0 \quad Q_2 = const}$

$Q_1 = \max\left(\frac{50 - 0.5Q_2}{2}, 0\right)$

$\pi_2 = (90 - 0.5Q_1 - 0.5Q_2)Q_2 - Q_2^2 - 20Q_1 \to \max_{Q_2 \geq 0, Q_1 = const}$

$Q_2 = \frac{90 - 0.5Q_1}{3}$

Ищем пересечение кривых реакций:

$Q_1 = \frac{124}{5} = 24.8 \quad Q_2 = \frac{776}{30} = 25 \frac{13}{15} \quad P_1 = \frac{194}{3}$

Посчитаем прибыли в этом равновесии:

$\pi_1 = \frac{194}{3} \cdot \frac{124}{5} - \frac{62}{5} \cdot \frac{124}{5} - 40 \cdot \frac{124}{5} = \frac{21824}{75} > \frac{1800}{7}$

$\pi_2 = \frac{388}{15} \cdot \frac{194}{3} - \frac{388}{15} \cdot \frac{388}{15} - 20 \cdot \frac{124}{5} = \frac{76144}{150} > \frac{13200}{49}$

В обоих случаях прибыль увеличилась.

г) Подставляем кривую реакции первой фирмы в прибыль второй:

$\pi_2 = (90 - 25 + 0.25Q_2 - 0.5Q_2)Q_2 - Q_2^2 - 20(25 - 0.5Q_2) \to \max_{Q_2 \in [0; 100]}$

$Q_2 = 30 \quad Q_1 = 17.5 \quad P = 66.25$

Аналогично предыдущим пунктам считаем прибыль:

$\pi_1 = 17.5^2 = 306.25 \quad \pi_2 = 737.5 \quad \pi_{sum} = 1043.75 > \frac{21824}{75} + \frac{76144}{150}$

д) $MC_1 = Q_1 + 60 = 2Q_2 = MC_2$

$Q_1 = 2Q_2 - 60 \quad Q_2 = 20 + Q/3 \quad Q_1 = 2Q/3 - 20 \quad MC = 40 + 2Q/3$

$40 + 2Q/3 = 90 - Q \quad Q = 30 \quad Q_2 = 30 \quad Q_1 = 0$

$\pi = 30 \cdot 75 - 30^2 = 1350 > 1045.75 = \pi_{sum_d}$

4. Задача о кокосах на необитаемом острове

На необитаемом острове живут Робинзон и Пятница. Всё, что есть в их распоряжении — это кокосы, которые каждый из них собрал на соседней пальме. У каждого есть в запасе по 4 кокоса. Эти кокосы можно съесть, а можно сложить возле дома в виде снеговика (напоминание Робинзона о холодной Англии, а Пятнице — о холодных сердцах его бывших соплеменников). Пусть $x_i$ — количество потребленных кокосов, а $g = g_1 + g_2$ — количество сложенных в снеговика кокосов. Тогда полезность i-ого агента равна:

$U_i = x_i^2 + g^2$

а) Найдите кривые реакции выбора $g_i$ одного туземца на выбор другого.

б) Найдите равновесие Нэша, если туземцы выбирают свои $g_i$ одновременно и независимо.

в) Является ли равновесие Парето-оптимальным, то есть можно ли выбрать другие количества $g_i и x_i$ , чтобы полезность обоих агентов не уменьшилась?

г) Найдите оптимум, если туземцы максимизируют суммарную полезность. Сравните суммарный $g$ в этом случае и в равновесии. Объясните результат.

Решение

а)

б)

в)