Ботаем экономику: Старшие

Налоги: международная торговля

В этой теме анализируются налоги в условиях международной торговли. В отличие от закрытой экономики, налоги на экспорт и импорт влияют не только на внутренние цены и объемы, но и на мировую цену и объем торговли. Рассматриваются стратегическое взаимодействие стран при выборе налоговых ставок, а также ситуация, когда налоги вводятся согласованно. Отдельное внимание уделяется налогообложению монополиста, продающего продукцию на внутреннем и внешнем рынках, и сравнению потоварных и процентных налогов.

Что почитать?

1) Повторите все предыдущие материалы по налогам :)

2) Задачник по экономике (с. 127-134).

Что порешать?

Задача 1.

На рынке атомной электроэнергии действует фирма-монополист «ЧБ» с издержками

$TC = Q^2.$

Спрос на их продукцию задается функцией

$P_d = 80 − 4Q.$

a) Найдите ставку потоварного налога, при которой налоговые сборы максимальны. Какой выпуск выберет монополист при такой ставке налога?

b) Найдите ставку процентного налога на выручку, при которой налоговые сборы максимальны. Какой выпуск теперь выберет монополист при такой ставке налога?

c) Уровень хард: предположим, что спрос на продукцию монополиста линейный

$P_d = a − bQ,$

а издержки задаются линейной функцией

$TC = cQ.$

Докажите, что при этих условиях максимальные налоговые сборы от процентного налога на выручку будут всегда не ниже, чем максимальные налоговые сборы от потоварного налога.

Решение

(a) Можно решать задачу, записав функцию прибыли с учетом собираемых налогов

$π = TR − TC − tQ,$

но используем метод предельных величин.

В отсутствии налогов в оптимуме выполняется условие:

$MR = MC$

Потоварный налог t увеличивает предельные издержки на t, поэтому в оптимуме:

$MR = MC + t$

Отсюда:

$t = MR − MC$

Налоговые сборы:

$Tx = Q · t = Q(MR − MC)$

Найдем MR и MC:

$MR = 80 − 8Q$

$MC = 2Q$

Тогда:

$t = 80 − 10Q$

$Tx = 80Q − 10Q^2 → max_{Q ∈ [0; 8]}$

Это парабола ветвями вниз, максимум в вершине:

$Q^* = 4$

$t^* = 40$

$Tx = 160$

(b) Теперь рассмотрим процентный налог на выручку.

Новая выручка фирмы равна $TR(1 − t)$ , а предельная выручка:

$MR(1 − t)$

Условие оптимума:

$MR(1 − t) = MC$

Отсюда:

$1 − t = MC / MR$

$t = 1 − MC / MR = (MR − MC) / MR$

Налоговые сборы:

$Tx = t · Q · P = (MR − MC) · Q · P / MR$

Здесь сразу видно, что процентный налог дает не меньшие сборы, чем потоварный, поскольку:

P ≥ MR

а значит коэффициент P / MR ≥ 1.

Теперь прооптимизируем:

$Tx = (80 − 10Q)Q(80 − 4Q) / (80 − 8Q)$

$Tx = (5Q^3 − 140Q^2 + 800Q) / (10 − Q)$

Производная:

$Tx′ = (−10Q^3 + 290Q^2 − 2800Q + 6400) / (10 − Q)^2 = 0$

Оптимальный выпуск:

$Q^* = 1/3(29 − 1 / (3511 − 12√85605)^{1/3} − (3511 − 12√85605)^{1/3}) ≈ 3.27$

2. Чингисхан решил собрать дань со своего населения, которое торгует золотыми табличками.

Спрос на золотые таблички задается функцией

$Q_d = 120 − P.$

Таблички производят 10 компаний, издержки каждой:

$TC = 10Q^2.$

Масса одной монетки равна 10 граммов,

масса одной таблички — 500 граммов.

a) Найдите, сколько максимально граммов золота соберет Чингисхан, если введет потоварный налог на рынке табличек.

b) Чингисхан берет долю τ от каждой произведенной таблички. Найдите, сколько максимально граммов золота он соберет при таком налоге.

Решение

(a) Найдем предложение одной фирмы и рынка:

$P_{s,i} = 20Q_i$

$P_{s,market} = 2Q$

Потоварный налог:

$t = P_d − P_s = 120 − Q − 2Q = 120 − 3Q$

Налоговые сборы:

$Tx = 120Q − 3Q^2 → max_{Q ∈ [0; 40]}$

Максимум:

$Q^* = 20$

$Tx = 120 · 20 − 3 · 400 = 1200 монет$

В граммах золота:

$Tx = 1200 · 10 = 12000 граммов$

(b) Пусть:

$Q_{sold}$ — количество, проданное фирмой,

$Q_{produced}$ — количество произведенное фирмой.

Прибыль:

$π_i = P · Q_{sold,i} − 10(Q_{produced,i})^2$

Так как Чингисхан забирает долю τ:

$Q_{sold} = (1 − τ)Q_{produced}$

$Q_{produced} = Q_{sold} / (1 − τ)$

Прибыль:

$π_i = P Q_{sold,i} − 10(Q_{sold,i})^2 / (1 − τ)^2$

Максимум:

$Q_{sold,i} = P(1 − τ)^2 / 20$

$Q_{sold,суммарное} = P(1 − τ)^2 / 2$

Равновесие:

$P(1 − τ)^2 / 2 = 120 − P$

Отсюда:

$P = 120 / (2 + (1 − τ)^2)$

$Q_{sold} = 60(1 − τ)^2 / (2 + (1 − τ)^2)$

Налоговые сборы (в граммах):

$Tx = 500 · Q_{produced} · τ$

$Tx = 30000τ(1 − τ) / (2 + (1 − τ)^2) → max_{τ ∈ [0; 1]}$

Производная:

$Tx′ = 30000(τ^2 − 6τ + 3) / (τ^2 − 2τ + 3)^2 = 0$

Оптимум:

$τ^* = 3 − √6$

Максимальные сборы:

$Tx = 7500√6 − 15000 ≈ 3371 грамм$

Таким образом, натуральный налог приносит меньше золота, чем потоварный