Ботаем экономику: Старшие

Классическая оптимизация полезности

Оптимизация функции — это поиск её наилучшего значения. Простыми словами, оптимизация помогает найти максимум прибыли или минимум затрат, исследуя поведение функции. В экономике и управлении оптимизация — это ключевой инструмент для принятия эффективных решений, расчёта оптимальных объёмов производства и управления ресурсами!

Что почитать?

1) Учебник по олимпиадной экономике: с. 31-37.

2) Лекция.

3) Задачник по экономике (с. 10-14).

Что порешать?

Задача 1

В каждом пункте вам необходимо найти, какое оптимальное количество x и y нужно приобрести, чтобы получить максимальную полезность (U) при фиксированном количестве денег (I)

1. $U = xy \quad P_x = 10 \quad P_y = 20 \quad I = 100$

2. $U = x^{2024}y^{2024} \quad P_x = 4 \quad P_y = 5 \quad I = 100$

3. $U = x^{52}y^{104} \quad P_x = 5 \quad P_y = 10 \quad I = 100$

4. $U = x_1 + x_2 \quad P_1 = 25 \quad P_2 = 30 \quad I = 100$

5. (Сложная задача) $U = -(x-40)^2 - (y - 20)^2 \quad P_x = x \quad P_y = y \quad I = 200$

Решение

$1. U = xy \quad P_x = 10 \quad P_y = 20 \quad I = 100$

Это функция Кобба-Дугласа, оптимумы:

$x=\frac{100}{2*10}=5 \quad \quad y=\frac{100}{2*20}=2,5$

2. $U = x^{2024}y^{2024} \quad P_x = 4 \quad P_y = 5 \quad I = 100$

Монотонное преобразование: можно взять корень 2003 степени и решить подобно пункту (а):

$x=\frac{100}{2*4}=12,5 \quad \quad y=\frac{100}{2*5}=10$

3. $U = x^{52}y^{104} \quad P_x = 5 \quad P_y = 10 \quad I = 100$

Это функция Кобба-Дугласа, оптимумы:

$x=\frac{52*100}{156*5}=\frac{20}{3} \quad \quad y=\frac{52*100}{156*10}=\frac{10}{3}$

4. $U = x_1 + x_2 \quad P_1 = 25 \quad P_2 = 30 \quad I = 100$

Линейная функция, берем по максимуму то, что дешевле:

$x_1=4$

5. (Сложная задача) $U = -(x-40)^2 - (y - 20)^2 \quad P_x = x \quad P_y = y \quad I = 200$

Тут удобно решать графически: кривые безразличия и бюджетное ограничение — это окружности. Оптимум будет в точке касания двух окружностей с центрами (0;0) и (40 ; 20). Тогда точка касания лежит на линии, соединяющей два центра: $x = 2y.$ Подставив в бюджетное ограничение $x^2 + y^2 = 200$ , получим $y = 2√10$ , $x = 4√10.$

Задача 2

«Двойная» максимизация

Дима получает полезность от чая $(x)$ и кофе $(y)$ , при этом его функция полезности $U = xy$ , начальный бюджет равен $100$ д.е., цены $P_x = 2$ , $P_y = 4$ . Дима не любит смешивать чай и кофе в один день, поэтому завтра решил пить только чай, а послезавтра только кофе. Его друг сообщил ему, что завтра вечером (после употребления Димой чая) будет уникальная возможность вложиться в акции одной компании, цена которых увеличится в 4 раза за вечер. При этом полученные деньги на следующий день можно будет потратить на столь любимый Дмитрием кофе. Найдите какое количество чая и кофе будет выпить Дмитрием.

Решение

Обратим внимание, что по сути в первый день нам выгодно вложиться в чай и в акции, так как то, во сколько мы вложимся, потратим на след день на кофе. Тогда пусть а — количество акций, в которые мы вложимся, и бюджетное ограничение будет выглядеть так: (я сразу пишу равенством, но мы помним, что сначала неравенство, а так как функции монотонно возрастает хотя бы по одной переменной, то ставим равенство)

$2x+a=100$

Обратим внимание, что а станет на следующий день 4а, а значит при трате этого всего на кофе, купим кофе в количества а, тогда а=y. Запишем и промаксим полезность:

$U=x(100-2x)=100x-2x^2 \to \max$

Парабола ветвями вниз, максимум в вершине:

$x^*=25 \quad \quad y^*=50$