Классическая оптимизация полезности
Оптимизация функции — это поиск её наилучшего значения. Простыми словами, оптимизация помогает найти максимум прибыли или минимум затрат, исследуя поведение функции. В экономике и управлении оптимизация — это ключевой инструмент для принятия эффективных решений, расчёта оптимальных объёмов производства и управления ресурсами!
Что почитать?
1) Учебник по олимпиадной экономике: с. 31-37.
2) Лекция.
3) Задачник по экономике (с. 10-14).
Что порешать?
Задача 1
В каждом пункте вам необходимо найти, какое оптимальное количество x и y нужно приобрести, чтобы получить максимальную полезность (U) при фиксированном количестве денег (I)
1. $U = xy \quad P_x = 10 \quad P_y = 20 \quad I = 100$
2. $U = x^{2024}y^{2024} \quad P_x = 4 \quad P_y = 5 \quad I = 100$
3. $U = x^{52}y^{104} \quad P_x = 5 \quad P_y = 10 \quad I = 100$
4. $U = x_1 + x_2 \quad P_1 = 25 \quad P_2 = 30 \quad I = 100$
5. (Сложная задача) $U = -(x-40)^2 - (y - 20)^2 \quad P_x = x \quad P_y = y \quad I = 200$
1. $U = xy \quad P_x = 10 \quad P_y = 20 \quad I = 100$
Это функция Кобба-Дугласа, оптимумы:
$x=\frac{100}{2*10}=5 \quad \quad y=\frac{100}{2*20}=2,5$
2. $U = x^{2024}y^{2024} \quad P_x = 4 \quad P_y = 5 \quad I = 100$
Монотонное преобразование: можно взять корень 2003 степени и решить подобно пункту (а):
$x=\frac{100}{2*4}=12,5 \quad \quad y=\frac{100}{2*5}=10$
3. $U = x^{52}y^{104} \quad P_x = 5 \quad P_y = 10 \quad I = 100$
Это функция Кобба-Дугласа, оптимумы:
$x=\frac{52*100}{156*5}=\frac{20}{3} \quad \quad y=\frac{52*100}{156*10}=\frac{10}{3}$
4. $U = x_1 + x_2 \quad P_1 = 25 \quad P_2 = 30 \quad I = 100$
Линейная функция, берем по максимуму то, что дешевле:
$x_1=4$
5. (Сложная задача) $U = -(x-40)^2 - (y - 20)^2 \quad P_x = x \quad P_y = y \quad I = 200$
Тут удобно решать графически: кривые безразличия и бюджетное ограничение — это окружности. Оптимум будет в точке касания двух окружностей с центрами (0;0) и (40 ; 20). Тогда точка касания лежит на линии, соединяющей два центра: $x = 2y$. Подставив в бюджетное ограничение $x^2 + y^2 = 200$, получим $y = 2\sqrt{10}$, $x = 4\sqrt{10}$.
Задача 2
«Двойная» максимизация
Дима получает полезность от чая $(x)$ и кофе $(y)$, при этом его функция полезности $U = xy$, начальный бюджет равен $100$ д.е., цены $P_x = 2$, $P_y = 4$. Дима не любит смешивать чай и кофе в один день, поэтому завтра решил пить только чай, а послезавтра только кофе. Его друг сообщил ему, что завтра вечером (после употребления Димой чая) будет уникальная возможность вложиться в акции одной компании, цена которых увеличится в 4 раза за вечер. При этом полученные деньги на следующий день можно будет потратить на столь любимый Дмитрием кофе. Найдите какое количество чая и кофе будет выпить Дмитрием.
Обратим внимание, что по сути в первый день нам выгодно вложиться в чай и в акции, так как то, во сколько мы вложимся, потратим на след день на кофе. Тогда пусть а — количество акций, в которые мы вложимся, и бюджетное ограничение будет выглядеть так: (я сразу пишу равенством, но мы помним, что сначала неравенство, а так как функции монотонно возрастает хотя бы по одной переменной, то ставим равенство)
$2x+a=100$
Обратим внимание, что а станет на следующий день 4а, а значит при трате этого всего на кофе, купим кофе в количества а, тогда а=y. Запишем и промаксим полезность:
$U=x(100-2x)=100x-2x^2 \to \max$
Парабола ветвями вниз, максимум в вершине:
$x^*=25 \quad \quad y^*=50$