Ботаем экономику: Старшие

КПВ: построение из производственной функции

В задачах этого типа кривая производственных возможностей строится напрямую из производственных функций и ресурсных ограничений. Важно понимать, какие ресурсы являются лимитирующими, когда КПВ получается как нижняя огибающая, а когда — как результат сложения или комбинирования разных технологий. Такие задачи хорошо показывают связь между микроэкономическими производственными функциями и геометрическим видом КПВ.

Что почитать?

1) Учебник по олимпиадной экономике (с. 174-180).

2) Повторите предыдущие недели по КПВ

3) Лекция

4) Задачник по экономике (с. 53-56).

Что порешать?

Задача 1.

Вике для производства одного торта с вишенкой (x) необходимо 5 яиц, 2 кг муки и 1 кг сахара.

А для производства одного набора кексиков (y) нужно 8 яиц, 3 кг муки и 2 кг сахара.

У Вике в запасе есть 80 яиц, 36 кг сахара и 24 кг муки.

a) Постройте КПВ Вики.

b) КПВ Ольги задается уравнением $y = 30 − x$ . Ольга и Вика решили объединиться, постройте и запишите их суммарное уравнение КПВ.

c) Как истинные кондитеры Вика и Ольга любят потреблять торты и наборы кексов вместе в пропорции 1:3. Какое количество x и y они будут потреблять вместе в таком случае?

Решение

(a)

Выпишем ограничения по каждому ресурсу и нарисуем их на графике. Поскольку для производства необходимы все три ресурса, итоговая КПВ будет нижней огибающей.

Ограничение по яйцам:

$5x + 8y = 80$

$y = 10 − 0.625x$

Ограничение по муке:

$2x + 3y = 36$

$y = 12 − 2x / 3$

Ограничение по сахару:

$x + 2y = 24$

$y = 12 − 0.5x$

Первая линия лежит ниже остальных на всем допустимом промежутке, следовательно, именно она и задает КПВ Вики.

(б)

Строим суммарную КПВ Вики и Ольги по альтернативным издержкам.

Итоговое уравнение КПВ:

$y = {40 − 0.625x, если x ∈ [0; 16] // 46 − x, если x ∈ [16; 46]}$

(в)

Так как Вика и Ольга предпочитают потреблять наборы в пропорции 1:3, линия комплектов имеет вид:

$y = 3x$

Оптимум находится в точке пересечения линии комплектов и КПВ на первом участке:

$x = 320 / 29$

$y = 960 / 29$

2. Картон и его альтер эго Батон могут заселять детей и печатать подборки. Они могут работать как вместе, так и раздельно. У них есть всего один час.

Если они проработают t часть часа вместе, то на одного ребенка и на одну подборку они потратят

$1 / (40 + 4t)$

долю часа.

Если же они работают отдельно, то производительность постоянна:

Картон за час может заселить 12 детей или напечатать 24 подборки,

Батон за час может заселить 24 детей или напечатать 12 подборок.

Найдите КПВ Картона и Батона в решении задач и проблем, если они могут распределять время как хотят.

Решение

В исходных числах одна КПВ всюду лежит выше другой, поэтому были изменены параметры, чтобы проиллюстрировать метод решения.

(a)

Если мы хотим произвести максимальный y, выгоднее работать вместе при t = 1. Тогда:

$y = 40t + 4t^2 − x$

При t = 1 максимальный y равен 44.

Далее выгоднее производить x с помощью первой КПВ с альтернативными издержками:

$y = 12 − 0.5x$

Будем перераспределять долю времени (1 − t) на первую КПВ так, чтобы произвести:

$x = x_max = 24 − 24t$

При этом оставшееся время можно использовать для производства y на второй КПВ:

$y = 24 − 24t$

Тогда суммарный выпуск y равен:

$y = 40t + 4t^2 + 24 − 24t$

Подставим:

$t = 1 − x / 24$

Получаем:

$y = 40(1 − x / 24) + 4(1 − x / 24)^2 + x$

Аналогично получаем второй участок КПВ, который удобнее записать как функцию x(y):

$x = 40(1 − y / 24) + 4(1 − y / 24)^2 + y$

Итоговая КПВ имеет гладкую нелинейную форму.