Ботаем экономику: Старшие

КПВ: сложение

Кривая производственных возможностей (КПВ) показывает все эффективные комбинации выпуска двух благ при данных ресурсах и технологиях. В задачах на сложение КПВ рассматривается ситуация, когда производство возможно на нескольких независимых участках (полях, заводах, странах), и требуется получить суммарную КПВ. Ключевую роль играют альтернативные издержки, порядок вовлечения мощностей и построение верхней огибающей. Также часто анализируется выбор оптимального выпуска при заданных ценах — через касательную КТВ.

Что почитать?

1) Учебник по олимпиадной экономике (с. 174-190).

2) Лекция

3) Лекция

4) Задачник по экономике (с. 56-57).

Что порешать?

Задача 1.

В Тридевятом Царстве живет баба ВераНадеждаЛюбовь, которая может производить огурцы (x) и помидоры (y) на трех полях.

КПВ Первого поля:

$y_1 = 120 − x_1$

КПВ Второго поля:

$y_2 = 40 − x / 6$

КПВ Третьего поля:

$y_3 = 200 − 4x$

a) Найдите суммарную КПВ для трех полей.

b) Найдите КТВ, если цена огурцов 10, а помидоров — 30 рублей.

c) Баба ВераНадеждаЛюбовь использует только 2 поля, оставляя одно под паром. Определите, какое поле будет простаивать в зависимости от желаемого выпуска.

Решение

(a) Найдем альтернативные издержки производства x на каждом поле:

$OC_{x1} = 1$

$OC_{x2} = 1 / 6$

$OC_{x3} = 4$

Порядок вовлечения полей в производство x (по возрастанию альтернативных издержек):

поле 2 → поле 1 → поле 3

Максимальные объемы x на полях:

поле 2: x ≤ 240

поле 1: x ≤ 120

поле 3: x ≤ 50

Итоговая суммарная КПВ:

$y = { 360 − x / 6, если x ≤ 240 // 560 − x, если x ∈ [240; 360] // 1640 − 4x, если x ∈ [360; 410] }$

(b) Отношение цен:

$P_x / P_y = 10 / 30 = 1 / 3$

Сравниваем с альтернативными издержками:

1 / 6 < 1 / 3 < 1

Значит, оптимум находится на изломе между первым и вторым участками, при x = 240.

Соответствующее y:

$y = 360 − 240 / 6 = 320$

КТВ имеет вид:

$y = 400 − x / 3$

Поля 1 + 2:

$y = {160 − x / 6, если x ≤ 240 // 360 − x, если x ∈ [240; 360]}$

Поля 1 + 3:

$y = {240 − x / 6, если x ≤ 240 // 1160 − 4x, если x ∈ [240; 290]}$

Поля 2 + 3:

$y = {320 − x, если x ≤ 120 // 680 − 4x, если x ∈ [120; 170]}$

Итоговая верхняя огибающая (оптимальная КПВ при трехполье):

$y = { 320 − x, если x ≤ 96 // 240 − x / 6, если x ∈ [96; 240] // 1160 − 4x, если x ∈ [240; 800 / 3] // 360 − x, если x ∈ [800 / 3; 360]}$

Соответственно, баба ВераНадеждаЛюбовь оставляет под паром поле с наибольшими альтернативными издержками в данном диапазоне выпуска.

2. Пусть функция КПВ в некоторой стране:

$y = a − x$

a) Найдите КТВ в зависимости от a и отношения цен $P_x / P_y = P.$

b) Найдите выпуск в оптимуме, если спрос на x:

$P_x = 16 − x,$

а спрос на y:

$P_y = 24 − 2y.$

c) Ответьте на вопросы пунктов (a) и (b), если

$y = a^2 − x^2.$

Решение