Ботаем экономику: Старшие

Теория игр

Теория игр изучает ситуации стратегического взаимодействия, в которых результат для каждого участника зависит не только от его собственных действий, но и от действий других игроков. Ключевые понятия — стратегии, наилучшие ответы, равновесие Нэша и Парето-оптимальность. Такие модели применяются для анализа общественных благ, коллективных действий и проблем безбилетника.

Что почитать?

1. Лекция

Что порешать?

Задача 1.

На необитаемом острове живут Робинзон и Пятница. Всё, что есть в их распоряжении — это кокосы, которые каждый из них собрал на соседней пальме. У каждого есть в запасе по 4 кокоса. Эти кокосы можно съесть, а можно сложить возле дома в виде снеговика.

Пусть

$x_i$ — количество потребленных кокосов,

$g = g_1 + g_2$ — количество сложенных в снеговика кокосов.

Полезность i-ого агента равна

$U_i = x_i^2 + g^2$

a) Найдите кривые реакции выбора $g_i$ одного туземца на выбор другого.

b) Найдите равновесие Нэша, если туземцы выбирают свои $g_i$ одновременно и независимо.

c) Является ли равновесие Парето-оптимальным?

d) Найдите оптимум, если туземцы максимизируют суммарную полезность. Сравните суммарный g в этом случае и в равновесии. Объясните результат.

Решение

Так как у каждого туземца всего 4 кокоса, выполняется ограничение:

$x_i + g_i = 4$

Тогда полезность:

$U_i = (4 − g_i)^2 + (g_1 + g_2)^2$

(a) Зафиксируем $g_j$ и максимизируем полезность i-го агента:

$U_i = (4 − g_i)^2 + (g_i + g_j)^2 → max_{0 ≤ g_i ≤ 4}$

Производная по $g_i:$

$−2(4 − g_i) + 2(g_i + g_j) = 0$

Отсюда кривая реакции:

$g_i = 2 − g_j / 2$

(b) В равновесии Нэша $g_1 = g_2 = g$ . Подставляем:

$g = 2 − g / 2$

$g = 4 / 3$

Тогда:

$g_1 = g_2 = 4 / 3,$

$g = 8 / 3,$

$x_1 = x_2 = 8 / 3$

(c) Равновесие не является Парето-оптимальным: можно увеличить $g_1 и g_2$ одновременно, пожертвовав частью частного потребления, но увеличив $g^2$ настолько, что полезность обоих агентов возрастет.

(d) Максимизируем суммарную полезность:

$W = (4 − g_1)^2 + (4 − g_2)^2 + 2(g_1 + g_2)^2$

В силу симметрии $g_1 = g_2 = g$ . Тогда:

$W = 2(4 − g)^2 + 8g^2$

$W = 32 − 16g + 10g^2$

Максимум достигается на границе $g = 4$ :

$g_1 = g_2 = 4,$

$g = 8$

В общественном оптимуме вклад в общественное благо больше, чем в равновесии Нэша, из-за проблемы безбилетника.

2. Трое пиратов независимо выбирают вклад $x_i ≥ 0$ в общий банк. После этого банк увеличивается в n раз и делится поровну между всеми. У пиратов 4, 5 и 8 монет.

a) Найдите равновесие Нэша при $n = 2.$

b) Найдите равновесие Нэша при $n = 10.$

Решение

(a) При $n = 2$ прибыль i-го пирата:

$π_i = 2(x_1 + x_2 + x_3)/3 − x_i$

Это линейно убывающая функция по x_i, поэтому оптимум:

$x_1 = 0,$

$x_2 = 0,$

$x_3 = 0$

Равновесие Нэша: (0; 0; 0).

(b) При $n = 10$ прибыль i-го пирата:

$π_i = 10(x_1 + x_2 + x_3)/3 − x_i$

Функция линейно возрастает по $x_i$ , поэтому оптимум — максимальный вклад:

$x_1 = 4,$

$x_2 = 5,$

$x_3 = 8$

Равновесие Нэша: (4; 5; 8).