Ботаем экономику: Старшие

Олигополия: сложные случаи

Олигополия — рыночная структура, при которой на рынке действует небольшое число фирм, и решения каждой из них существенно влияют на остальных. Ключевая особенность олигополии — стратегическое взаимодействие: фирмы учитывают реакцию конкурентов при выборе объёма выпуска или цены. Наиболее распространённые модели олигополии — модель Курно (одновременный выбор выпуска) и модель Штакельберга (последовательный выбор).

Что почитать?

1. Учебник по олимпиадной экономике (с. 113–124).

2. Лекция.

3. Лекция.

4. Задачник по экономике (с. 118-125).

Что порешать?

Задача 1.

Рыночный спрос на бананы задается функцией

$Q_d = 180 - P.$

На рынке бананов работают две фирмы: Banana Republic (1) и Emporio Banani (2).

Их издержки выражены соответственно

$TC_1 = Q_1^2,$

$TC_2 = Q_2^2.$

Фирмы одновременно и независимо выбирают количество, причем такие взаимодействия происходят бесконечное количество периодов, коэффициент дисконтирования

$σ = 0.8.$

a) Найдите равновесие на рынке по Курно.

b) Государство предлагает на 1 период первой фирме купить право первой выбирать количество (стать первой фирмой в Штакельберге). Какую сумму максимально она будет готова заплатить за это право?

c) Теперь государство предлагает ей купить это право на бесконечное количество периодов. Сколько будет готова заплатить первая фирма?

d) Государство больше ничего не предлагает первой фирме (продолжаем конкурировать по Курно), но вторая фирма хочет купить первую. Какую цену максимально будет готова заплатить вторая фирма? А за какую минимально согласиться продать первая?

Решение

(a) Промаксимизируем прибыль каждой фирмы:

$π_1 = (180 − Q_1 − Q_2)Q_1 − Q_1^2 → max_{Q_1 ≥ 0}$

Условие первого порядка:

$Q_1 = (180 − Q_2) / 4$

Аналогично для второй фирмы:

$Q_2 = (180 − Q_1) / 4$

Найдем равновесие на пересечении кривых реакций:

$4Q_2 = 180 − Q_1$

$Q_1 = 45 − 0.25Q_2$

Откуда:

$Q_2 = 36,$

$Q_1 = 36,$

$P = 180 − 72 = 108$

(b) Найдем прибыль в равновесии Курно:

$π_i = 108 · 36 − 36^2 = 2592$

Теперь рассмотрим Штакельберга. Подставим реакцию второй фирмы в прибыль первой:

$π_1 = (180 − Q_1 − (180 − Q_1)/4)Q_1 − Q_1^2$

$π_1 = 135Q_1 − 1.75Q_1^2$

Максимум достигается при:

$Q_1 = 135 / 3.5 = 270 / 7$

Тогда:

$Q_2 = (180 − Q_1)/4 = 990 / 28$

$P = 2970 / 28$

Прибыль первой фирмы:

$π_1 = (270 / 7) · (2970 / 28) − (270 / 7)^2$

$π_1 = 127575 / 49$

Максимальная сумма, которую фирма готова заплатить:

$Δπ = 127575 / 49 − 2592 = 81 / 7$

$Δπ + 0.8Δπ + 0.64Δπ + … = Δπ / (1 − 0.8)$

Итог:

$5Δπ = 405 / 7$

(d) Минимальная цена продажи для первой фирмы — дисконтированная сумма ее курновских прибылей:

$π + 0.8π + 0.64π + … = π / (1 − 0.8) = 5π = 12560$

Найдем максимальную цену, которую готова заплатить вторая фирма. При объединении фирм:

$TC = (Q/2)^2 + (Q/2)^2 = 0.5Q^2$

Прибыль монополии:

$π = (180 − Q)Q − 0.5Q^2 = 180Q − 1.5Q^2$

Оптимум:

$Q = 60,$

$P = 120,$

$π = 5400$

Прирост прибыли:

$Δπ = 5400 − 2592 = 2808$

Дисконтированная сумма:

$5Δπ = 14040$

2. На олигополистическом рынке действуют несколько фирм с издержками

$TC_i = Q_i^2.$

Спрос задается функцией

$Q = 240 − P.$

Государство запрещает продавать товар без лицензии, которую необходимо купить по цене S.

Если фирма ничего не производит, ее издержки равны нулю.

a) Выведите зависимость оптимального количества от S.

b) Сколько фирм на рынке останется в долгосрочном периоде при S = 100?

c) Государство отменило лицензии, но ввело потоварный налог t. Найдите, при каких t налоговые сборы не ниже, чем сборы от лицензий.

Решение

(a) Прибыль i-й фирмы:

$π_i = (240 − Q_i − Q_{−i})Q_i − Q_i^2 − S → max_{Q_i > 0}$

Условие первого порядка:

$Q_i = (240 − Q_{−i}) / 4$

В симметричном равновесии:

$Q_i = (240 − (n − 1)Q_i) / 4$

$Q_i = 240 / (n + 3)$

Цена:

$P = 240 − 240n / (n + 3) = 720 / (n + 3)$

Условие безубыточности в долгосрочном периоде:

$π_i = (240 / (n + 3)) · (720 / (n + 3)) − (240 / (n + 3))^2 − S ≥ 0$

Отсюда:

$(n + 3)^2 ≤ 2 · 240^2 / S$

Число фирм:

$n = ⌊240√2 / √S⌋ − 3$

(b) При $S = 100:$

$n = ⌊240√2 / 10⌋ − 3 = 30$

$Tx = n · S = 30000$

При налоге t прибыль фирмы:

$π_i = (240 − Q_i − Q_{−i})Q_i − Q_i^2 − tQ_i$

В симметрии:

$Q_i = (240 − t) / (n + 3)$

При n = 30:

$Q = 30(240 − t) / 33$

Налоговые сборы:

$Tx = tQ = 10(240t − t^2) / 11$

Условие:

$10(240t − t^2) / 11 ≥ 30000$

Или:

$t^2 − 240t + 33000 ≤ 0$

Решений нет, следовательно, невозможно обеспечить такой же уровень сборов, как при лицензировании.