Ботаем экономику: Старшие

Оптимизация структур с параметром

В задачах на оптимизацию структур с параметром изучается, как изменение одного внешнего параметра (спроса, издержек, налогов, количества фирм и т.д.) влияет на оптимальные решения экономических агентов. Чаще всего параметр изменяет форму или положение ключевых функций (спроса, предельной выручки, предельных издержек), а задача сводится к анализу того, какие величины остаются неизменными, а какие масштабируются. Такие результаты особенно важны для быстрых выводов в тестовых задачах и позволяют избегать трудоёмких вычислений.

Что почитать?

1. Повторите все занятия по структурам, недели 7–10.

Что порешать?

Задача 1.

На рынке с линейным спросом работает монополист, который производит свой товар с постоянными предельными издержками. Спрос увеличился при каждой цене в t раз. Во сколько раз увеличилось оптимальное количество? А равновесная цена?

Решение

Это очень прикольный факт, который помогает не только правильно, но и быстро решать тесты, например, на регионе. Введем в общем виде спрос и предельные издержки:

$MC = a$

$P = b - cQ$

$MR = b - 2cQ$

$Q = (b - a)/(2c)$

$P = (a + b)/2$

Давайте теперь увеличим спрос в t раз (это тоже надо уметь делать правильно):

$Q_0 = b/c - P/c$

$Q_1 = bt/c - tP/c$

$P = b - cQ/t$

$MR = b - 2cQ/t$

Приравниваем MR и MC:

$b - 2cQ/t = a$

$Q = t(b - a)/(2c)$

$P = (a + b)/2$

Итак, мы получили, что равновесная цена не изменится, а количество вырастет ровно в t раз.

Изначально рынок волшебных палочек был совершенно конкурентным, причем спрос и предложение были

$P^d = 40 - Q$ и $P^s = aQ$ , где $a$ — некий положительный параметр.

После объединения фирм в монополиста общественное благосостояние (состоящее из излишков производителей и потребителей) составило 45/49 от изначального. Найдите $a$ .

Решение

Некоторые задачи по экономике очень легко решать базовыми геометрическими приемами. Например, это задачи на поиск изменения общественного благосостояния при линейных функциях спроса и предложения. В таких функциях треугольник DWL подобен треугольнику SW.

Так, в этой задаче, если общественное благосостояние составило 45/49 от совершенно конкурентного, это означает, что

$DWL = 4/49 · SW$

Поскольку площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, то

$Q_M = (1 - 2/7)Q_CK = 5/7 Q_CK$

поскольку количество будет высотой в этих подобных треугольниках.

Найдем совершенно конкурентное и монопольное количество и применим это соотношение выпусков:

$40 - Q = aQ$

$Q_CK = 40/(a + 1)$

$40 - 2Q = aQ$

$Q_M = 40/(a + 2)$

Используем найденное соотношение:

$(7/5) · 40/(a + 2) = 40/(a + 1)$

$a=1,5$