Ботаем экономику: Старшие

Монополия: двухчастный тариф и дискриминация 1 рода

В этой теме изучаются способы, с помощью которых монополист может извлекать потребительский излишек, назначая более сложные схемы ценообразования, чем простая единая цена. Двухчастный тариф предполагает, что потребитель платит фиксированную плату за доступ к товару и дополнительную цену за каждую единицу потребления. Дискриминация первого рода (совершенная ценовая дискриминация) означает, что монополист может полностью извлечь весь потребительский излишек, назначая индивидуальные цены для каждой единицы товара и каждого потребителя. В задачах анализируется выбор оптимальных тарифов при различных институциональных ограничениях: возможности или невозможности различать потребителей, равенстве или неравенстве тарифов, а также наличии стимулов к самовыбору.

Что почитать?

1) Учебник по олимпиадной экономике: с. 103-112

2) Лекция и еще лекция

3) Разбор нескольких задач.

Что порешать?

Задача 1. problem Антон и Маша

У Влада Бумаги есть два потребителя — Антон Картон и Маша Папье-маше, которые закупают у него альбомы для рисования.

Излишек Антона от количества купленных альбомов

$CS_A = 10Q_A - Q_A^2 / 2,$

а излишек Маши —

$CS_B = 12Q_B - Q_B^2 / 2.$

Влад продает Антону и Маше разные комплекты из нескольких альбомов по цене $F_A$ или $F_B$ за комплект.

Альбомы Влад производит с издержками

$TC = 5Q.$

Найдите:

какие комплекты выберет монополист, если он может назначать разные цены потребителям;
антимонопольная служба обязала Влада назначать единый комплект с единой ценой. Какой оптимальный набор он выберет в этом случае;
пусть ограничение, введенное антимонопольной службой, перестало работать, однако Влад запутался, у кого была какая функция излишка. Иными словами, теперь он перестал различать своих потребителей. Какие оптимальные тарифы выберет Влад в этом случае?

Решение

(a)

Поскольку мы можем назначать разные цены, будет выгодно выбрать

$F_i = CS_i$

$F_A = 10Q_A - 0.5Q_A^2$

$F_B = 12Q_B - 0.5Q_B^2$

$π = F_A + F_B - TC$

$π = 10Q_A - 0.5Q_A^2 + 12Q_B - 0.5Q_B^2 - 5Q_A - 5Q_B → max_{Q_A, Q_B ≥ 0}$

Это две независимые параболы ветвями вниз, максимум в вершине:

$Q_A = 5$

$F_A = 37.5$

$Q_B = 7$

$F_B = 59.5$

(b)

Установим одинаковую цену, равную меньшему излишку:

$π = 2F - 5(Q_B + Q_B)$

$π = 10Q_B - Q_B^2 → max_{Q_B ≥ 0}$

Это парабола ветвями вниз, максимум в вершине:

$Q = 5$

$F = 37.5$

$π = 25$

Поскольку прибыль 25 больше, чем то, что он получит от одного комплекта для богатого

(59.5 − 35 = 24.5), то выберем этот комплект.

(c)

Теперь мы будем снова занулять меньший излишек, а также запишем условие, что богатый не выберет набор бедного:

$F_A = 10Q_A - 0.5Q_A^2$

$12Q_B - 0.5Q_B^2 - F_B ≥ 12Q_A - 0.5Q_A^2 - F_A = 2Q_A$

$F_B = 12Q_B - 0.5Q_B^2 - 2Q_A$

$π = 12Q_B - 0.5Q_B^2 + 8Q_A - 0.5Q_A^2 - 5(Q_A + Q_B) → max_{Q_A, Q_B ≥ 0}$

Это две независимые параболы, максимум в вершине:

$Q_A = 3$

$F_A = 25.5$

$Q_B = 7$

$F_B = 50.5$

2. На рынке качественных задач работает единственный производитель Акул, который поставляет задачи двум потребителям — ШОП и ШОМ. Каждому потребителю нужна только одна качественная задача, при этом они могут и не купить задачу.

Излишек ШОПа равен

$CS_A = 2q_A - P_A,$

а излишек ШОМа —

$CS_B = 3q_B - P_B,$

где $q_i$ — качество качественной задачи, которую сделает Акул, а $P_i$ — цена, по которой он ее продаст потребителю.

Издержки на производство качественных задач у Акула задаются функцией

$TC = q_a^2 + q_b^2.$

Найдите:

какие комплекты $(q_i, P_i)$ выберет Акул, если он может дискриминировать потребителей;

ШОП заявил, что купит задачу только если ее качество не ниже, чем у задачи для ШОМа. При этом цены могут быть разными. Какие комплекты выберет Акул;

теперь ШОМ согласится купить задачу только если цена не выше, чем у задачи ШОПа. Какие комплекты выберет Акул;

все прежние ограничения отменены, но Акул не может различать потребителей, хотя знает, что их всего два и функции излишков заданы как в условии. Какие комплекты он выберет?

Решение

(a)

Поскольку можем дискриминировать двух потребителей, то установим цены так, чтобы излишек каждого занулился:

$P_a = 2q_a$

$P_b = 3q_b$

$π = 2q_a + 3q_b - q_a^2 - q_b^2 → max_{q_a, q_b ≥ 0}$

$q_a = 1$

$q_b = 1.5$

$P_a = 2$

$P_b = 4.5$

(b)

Устанавливаем одинаковое качество:

$q_a = q_b = q$

Все ещё можем занулить излишек обоих:

$P_a = 2q$

$P_b = 3q$

$π = 5q - 2q^2 → max_{q ≥ 0}$

Это парабола ветвями вниз, максимум в вершине:

$q = 1.25$

$P_a = 2.5$

$P_b = 3.75$

(c)

Установим единый тариф, равный цене, при которой зануляется меньший излишек:

$P = 2q$

$π = 4q - 2q^2 → max_{q ≥ 0}$

$q = 1$

$P_a = P_b = 2$

(d)

Зануляем излишек бедного, выставляем условие выбора своего комплекта на богатого:

$P_a = 2q_a$

$3q_b - P_b ≥ 3q_a - P_a = q_a$

$P_b = 3q_b - q_a$

$π = q_a + 3q_b - q_a^2 - q_b^2 → max_{q_a, q_b ≥ 0}$

Это две независимые параболы, максимум в вершине:

$q_a = 0.5$

$P_a = 1$

$q_b = 1.5$

$P_b = 4$