Ботаем экономику: Старшие

Продвинутое понимание производной для оптимизации

Производная — это скорость изменения функции. Простыми словами, производная показывает, насколько быстро меняется значение функции при изменении её аргумента. В экономике производная - необходимый инструмент для работы с функциями, оптимизациями и в целом для решения задач!

Что почитать?

1) Учебник по олимпиадной экономике: с. 19-30.

2) Чтобы понять откуда берутся какие производные: это и это. (В более строгом варианте теория описана, например, в Зориче, с. 165-172).

3) И еще важный разговор про касательные.

4) Памятка и учебник Зорича!

Что порешать?

Задача 1

Динамично развивающаяся фирма по производству электрокаров нового поколения «E-car» приобрела постепенно затухающий завод «БензГазТрактор».

До заключения сделки производительность труда в фирме «E-car» составляла 400 тыс. руб. в год, а на покупаемом старом заводе — 100 тыс. руб. в год.

После покупки завода производительность труда в обновлённой фирме «E-car» составила 425 тыс. руб. в год.

Как изменилась производительность труда для фирмы «E-car», если известно, что:

в «БензГазТракторе» работало в 4 раза меньше работников, чем в «E-car»;

после сделки персонал сократился на 20%.

Решение

Обозначим через $x$ количество работников завода «БензГазТрактор» до его покупки фирмой «E-car».

Тогда до совершения сделки объём производства (в рублях) на обоих предприятиях составлял

$400 \cdot 4x + 100 \cdot x$ .

После совершения сделки объём производства (в рублях) стал равен

$425 \cdot 5x$ .

Поскольку количество персонала сократилось на 20%, составим индекс прироста (убытка) производительности труда:

$(425 \cdot 5) / (0.8 \cdot (400 \cdot 4 + 100)) = 1.5625$ .

Следовательно, производительность труда фирмы «E-car» выросла в 1.5625 раза.

Задача 2

Алёша очень любит сладкое. Каждый день он съедает хотя бы одну конфету, и чем больше общее количество конфет, съеденных в день $t$ , тем счастливее Алёша.

Но избыточное потребление сладкого приводит к увеличению веса, что расстраивает Алёшу. Иначе говоря, чем больше суммарное количество конфет, съеденных Алёшей за всю его жизнь, тем хуже он себя чувствует.

Таким образом, счастье Алёши в день $t$ определяется формулой:

$U(c_1, \ldots, c_t) = \dfrac{c_t}{\sum_{k=1}^{t} c_k}$ ,

где $c_t$ — количество конфет, съеденных Алёшей в день $t$ .

Вопросы:

1. Может ли счастье Алёши, связанное с потреблением конфет, оставаться постоянным? Приведите аналитическое решение и поясните свой ответ словами.

2. Растёт или падает счастье Алёши, связанное с потреблением конфет, со временем?Приведите аналитическое решение и прокомментируйте полученный результат.

Решение

Рассмотрим счастье Алёши, определяемое формулой

$U(c_1, \ldots, c_t) = \dfrac{c_t}{\sum_{k=1}^{t} c_k}$ .

Вопрос 1. Может ли счастье Алёши оставаться постоянным?

Заметим, что счастье Алёши всегда положительно.

Если $U_t = U_{t-1}$ , то из формулы полезности следует, что

$\dfrac{c_{t-1}}{c_t} = 1 - U_t$ .

Поскольку в момент времени $t = 1$ при ненулевом потреблении имеем $U_1 = 1$ , то постоянное счастье означало бы, что

$\dfrac{c_{t-1}}{c_t} = 0$ .

Это невозможно, так как количество съедаемых конфет в день должно быть положительным и конечным. Следовательно, счастье Алёши не может оставаться постоянным. Кроме того, счастье всегда меньше 1, за исключением первого дня.

Вопрос 2. Растёт или падает счастье Алёши со временем?

Счастье может как расти, так и снижаться, а также оставаться постоянным в течение нескольких периодов — в зависимости от динамики потребления конфет.

Обозначим через $C_{t-1} = \sum_{k=1}^{t-1} c_k$ общее количество конфет, съеденных до текущего дня. Тогда

$U_t = \dfrac{c_t}{c_t + C_{t-1}} = \dfrac{1}{1 + \dfrac{C_{t-1}}{c_t}}$ .

Аналогично можно записать

$\dfrac{U_t}{U_{t-1}} = \dfrac{1}{U_{t-1} + \dfrac{c_{t-1}}{c_t}}$ .

Если $c_t \leq c_{t-1}$ , то выполняется неравенство

$\dfrac{U_t}{U_{t-1}} > 1$ ,

то есть счастье Алёши со временем снижается.

Поскольку при любом $t > 1$ выполняется условие $U_{t-1} < 1$ , всегда можно подобрать такое значение $c_t$ , что:

если $c_t < \dfrac{c_{t-1}}{1 - U_{t-1}}$ , то счастье сегодня будет меньше, чем вчера;

если $c_t = \dfrac{c_{t-1}}{1 - U_{t-1}}$ , то счастье сохранится на прежнем уровне;

если $c_t > \dfrac{c_{t-1}}{1 - U_{t-1}}$ , то счастье сегодня будет больше, чем вчера.

Интуитивно это означает, что при достаточно высоком ежедневном потреблении счастье может быть сколь угодно близко к 1, но не достигнет его. Аналогично, при очень малом потреблении счастье будет близко к нулю. Таким образом, динамика счастья может быть как возрастающей, так и убывающей.