Продвинутое понимание производной для оптимизации
Производная — это скорость изменения функции. Простыми словами, производная показывает, насколько быстро меняется значение функции при изменении её аргумента. В экономике производная - необходимый инструмент для работы с функциями, оптимизациями и в целом для решения задач!
Что почитать?
1) Учебник по олимпиадной экономике: с. 19-30.
2) Чтобы понять откуда берутся какие производные: это и это. (В более строгом варианте теория описана, например, в Зориче, с. 165-172).
3) И еще важный разговор про касательные.
Что порешать?
Задача 1
Динамично развивающаяся фирма по производству электрокаров нового поколения «E-car» приобрела постепенно затухающий завод «БензГазТрактор».
До заключения сделки производительность труда в фирме «E-car» составляла 400 тыс. руб. в год, а на покупаемом старом заводе — 100 тыс. руб. в год.
После покупки завода производительность труда в обновлённой фирме «E-car» составила 425 тыс. руб. в год.
Как изменилась производительность труда для фирмы «E-car», если известно, что:
в «БензГазТракторе» работало в 4 раза меньше работников, чем в «E-car»;
после сделки персонал сократился на 20%.
Обозначим через $x$ количество работников завода «БензГазТрактор» до его покупки фирмой «E-car».
Тогда до совершения сделки объём производства (в рублях) на обоих предприятиях составлял
$400 \cdot 4x + 100 \cdot x$.
После совершения сделки объём производства (в рублях) стал равен
$425 \cdot 5x$.
Поскольку количество персонала сократилось на 20%, составим индекс прироста (убытка) производительности труда:
$(425 \cdot 5) / (0.8 \cdot (400 \cdot 4 + 100)) = 1.5625$.
Следовательно, производительность труда фирмы «E-car» выросла в 1.5625 раза.
Задача 2
Алёша очень любит сладкое. Каждый день он съедает хотя бы одну конфету, и чем больше общее количество конфет, съеденных в день $t$, тем счастливее Алёша.
Но избыточное потребление сладкого приводит к увеличению веса, что расстраивает Алёшу. Иначе говоря, чем больше суммарное количество конфет, съеденных Алёшей за всю его жизнь, тем хуже он себя чувствует.
Таким образом, счастье Алёши в день $t$ определяется формулой:
$U(c_1, \ldots, c_t) = \dfrac{c_t}{\sum_{k=1}^{t} c_k}$,
где $c_t$ — количество конфет, съеденных Алёшей в день $t$.
Вопросы:
1. Может ли счастье Алёши, связанное с потреблением конфет, оставаться постоянным? Приведите аналитическое решение и поясните свой ответ словами.
2. Растёт или падает счастье Алёши, связанное с потреблением конфет, со временем?Приведите аналитическое решение и прокомментируйте полученный результат.
Рассмотрим счастье Алёши, определяемое формулой
$U(c_1, \ldots, c_t) = \dfrac{c_t}{\sum_{k=1}^{t} c_k}$.
Вопрос 1. Может ли счастье Алёши оставаться постоянным?
Заметим, что счастье Алёши всегда положительно.
Если $U_t = U_{t-1}$, то из формулы полезности следует, что
$\dfrac{c_{t-1}}{c_t} = 1 - U_t$.
Поскольку в момент времени $t = 1$ при ненулевом потреблении имеем $U_1 = 1$, то постоянное счастье означало бы, что
$\dfrac{c_{t-1}}{c_t} = 0$.
Это невозможно, так как количество съедаемых конфет в день должно быть положительным и конечным. Следовательно, счастье Алёши не может оставаться постоянным. Кроме того, счастье всегда меньше 1, за исключением первого дня.
Вопрос 2. Растёт или падает счастье Алёши со временем?
Счастье может как расти, так и снижаться, а также оставаться постоянным в течение нескольких периодов — в зависимости от динамики потребления конфет.
Обозначим через $C_{t-1} = \sum_{k=1}^{t-1} c_k$ общее количество конфет, съеденных до текущего дня. Тогда
$U_t = \dfrac{c_t}{c_t + C_{t-1}} = \dfrac{1}{1 + \dfrac{C_{t-1}}{c_t}}$.
Аналогично можно записать
$\dfrac{U_t}{U_{t-1}} = \dfrac{1}{U_{t-1} + \dfrac{c_{t-1}}{c_t}}$.
Если $c_t \leq c_{t-1}$, то выполняется неравенство
$\dfrac{U_t}{U_{t-1}} > 1$,
то есть счастье Алёши со временем снижается.
Поскольку при любом $t > 1$ выполняется условие $U_{t-1} < 1$, всегда можно подобрать такое значение $c_t$, что:
если $c_t < \dfrac{c_{t-1}}{1 - U_{t-1}}$, то счастье сегодня будет меньше, чем вчера;
если $c_t = \dfrac{c_{t-1}}{1 - U_{t-1}}$, то счастье сохранится на прежнем уровне;
если $c_t > \dfrac{c_{t-1}}{1 - U_{t-1}}$, то счастье сегодня будет больше, чем вчера.
Интуитивно это означает, что при достаточно высоком ежедневном потреблении счастье может быть сколь угодно близко к 1, но не достигнет его. Аналогично, при очень малом потреблении счастье будет близко к нулю. Таким образом, динамика счастья может быть как возрастающей, так и убывающей.