Ботаем экономику: Младшие

КПВ: сложение и комплекты

Кривая производственных возможностей (КПВ) — это максимальный объём производства двух благ при полном использовании ресурсов. Простыми словами, КПВ показывает, сколько одного товара нужно отдать, чтобы получить больше другого. В экономике КПВ — ключевой инструмент для анализа эффективности, выбора и альтернативных издержек!

Что почитать?

1) Учебник по олимпиадной экономике: с. 181-191.

2) Лекция.

3) И еще лекция.

4) Задачник по экономике (с. 56-57).

Что порешать?

1. Дима и Лука производят мед и муку для чак-чака, просто потому что могут. Они изначально производили все по-одиночке, а потом решили объединиться. Их конечная цель - чак-чак, для производства которого необходимо взять мед и муку в пропорции 2:1. Как изменится их потребление чак-чака, если КПВ Димы: $y=100-4x$ , а Луки: $y=50-\frac{1}{2}x$ , где x - мука, а y - мед.

Решение

Построим сначала КПВ Димы и Луки отдельно и проведем прямую комплектов. Но какая же она у нас будет? Мы видим, что нам нужно брать меда в два раза больше, чем муки, а значит $y = 2x.$ Пересечем наши КПВ с линией комплектов и получим, сколько каждый будет потреблять чак-чаков.

КПВ Димы: $100 - 4x = 2x \quad \rightarrow \quad x = \frac{100}{6} = 16\frac{2}{3}$

КПВ Луки: $50 - \frac{1}{2}x = 2x \quad \rightarrow \quad x = 20$

То есть суммарно они потребят: $36\frac{2}{3}$ чак-чаков.

Построим суммарную КПВ, получится график:

$y = \begin{cases} 150 - \frac{1}{2}x, & x \in [0; 100] \\ 500 - 4x, & x \in [100; 125] \end{cases}$

Пересечем наш график с линией комплектов, она будет пересекать первый график:

$150 - \frac{1}{2}x = 2x \quad \rightarrow \quad x = 60$

А значит суммарно Лука и Дима будут потреблять 60 чак-чаков, до этого было меньше.

В странах Линея и Квадратия могут производиться товары X и Y. КПВ страны Линея

имеет вид $y_1=280-2x_1$ . КПВ страны Квадратия имеет вид $y_2=252-\frac{x_2^2}{7}$ . В обеих

странах товары потребляют только в комплектах. Один комплект состоит из одной

единицы товара X и пяти единиц товара Y.

а) Допустим, страны никак не взаимодействуют друг с другом. Найдите максимально возможное суммарное потребление комплектов в двух странах.

б) Теперь допустим, что страны могут сотрудничать, то есть договориться о совместной стратегии производства. Найдите максимальное возможное суммарное потребление комплектов в двух странах. На сколько комплектов оно больше, чем в пункте а)? Подсказка: пункт б) можно решить как с помощью нахождения суммарной КПВ, так и без него.

Решение

а) Обратим внимание, что наша линия комплектов будет $y = 5x$ .

КПВ страны 1: $280 - 2x = 5x \quad \rightarrow \quad x = 40$

КПВ страны 2: $252 - \frac{x^2}{7} = 5x \quad \rightarrow \quad x = 28$

Итого их суммарное потребление: $x = 68.$

б) Построим суммарное КПВ двух стран, однако заметим, что нелинейная КПВ будет разбиваться на два участка, когда АИ меньше 2 и второй участок. И на самом деле, нам будет достаточно найти лишь график второго участка, потому что линия комплектов будет пересекать на втором участке, в нашем случае линейном:

График первого: $y = 532 - \frac{x^2}{7}, \quad x \in [0; 7]$

График второго: $y = 539 - 2x, \quad x \in [7; 147]$

$539 - 2x = 5x \quad \rightarrow \quad x = 77$

Итого: суммарное потребление будет 77.