Ботаем экономику: Младшие

КПВ: понятие и построение

Кривая производственных возможностей (КПВ) — это максимальный объём производства двух благ при полном использовании ресурсов. Простыми словами, КПВ показывает, сколько одного товара нужно отдать, чтобы получить больше другого. В экономике КПВ — ключевой инструмент для анализа эффективности, выбора и альтернативных издержек!

Что почитать?

1) Учебник по олимпиадной экономике: с. 177-191.

2) Лекция.

3) И еще лекция.

4) Порешать можно Акимова (с. 21-39), за исключением задачек на торговлю, она будет в следующей теме.

5) Задачник по экономике (с. 51-53).

Что порешать?

1. КПВ задано уравнением $y = 120 - 4x$ , найдите:

а) Альтернативную стоимость одной единицы $y.$

б) Альтернативную стоимость одной единицы $x$ .

в) Альтернативную стоимость $120 y$ .

г) Альтернативную стоимость $20 x$ .

д) Альтернативную стоимость $x$ (коэффициент альтернативной стоимости).

е) Альтернативную стоимости $y$ (коэффициент альтернативной стоимости).

ж) Являются ли наборы $(x; y): (10; 80); (20; 50); (25; 5)$ достижимыми? А эффективными?

Решение

КПВ задано уравнением $y = 120 - 4x$ , найдите:

а) Альтернативную стоимость одной единицы игрек.

$x = 30 - \frac{1}{4}y$

AC — alternative cost, альтернативная стоимость

$AC_y = \frac{1}{4}$ икса

б) Альтернативную стоимость одной единицы икс.

$AC_x = 4$ игрека

в) Альтернативную стоимость 120 игреков.

$AC_{120y} = 30$ иксов

г) Альтернативную стоимость 20 иксов.

$AC_{20x} = 80$ игреков

д) Альтернативную стоимость икса (коэффициент альтернативной стоимости).

$AC_x = 4y$

е) Альтернативную стоимость игрека (коэффициент альтернативной стоимости).

$AC_y = \frac{1}{4}x$

ж) Являются ли наборы $(x; y): (10; 80); (20; 50); (25; 5)$ достижимыми? А эффективными?

Обратим внимание, что эффективными наборами считаются те, которые лежат на КПВ. Проверим, что лежит, а что нет:

$(10; 80): 80 = 120 - 4*10$

Это верно, значит это эффективный набор

$(20; 50): 50 = 120 - 4*20$

Это неверно, справа должно быть 40, а 50 больше, чем 40, значит точка лежит выше КПВ, она недостижимая.

$(25; 5): 5 = 120 - 4*25$

Это неверно, справа должно быть 20, а 5 меньше, чем 20, значит точка лежит ниже КПВ, она достижимая, но не очень эффективная.

2. All in

В одной далекой стране есть команда, которая привыкла всегда работать вместе. По отдельности они могут совсем немного: КПВ Вильсона задано как $y=150-5x$ , а КПВ Маши - $y=100-4x$

а) Найдите суммарное КПВ Маши и Вильсона (и задайте его аналитически).

б) Маша с Вильсоном очень продуктивные вдвоем, но если добавить к ним Марию, то их вообще будет не остановить. Найдите общее КПВ команды теперь, если КПВ Марии - $y=120-3x.$

Решение

а) Найдите суммарное КПВ Маши и Вильсона (и задайте его аналитически).

Чтобы складывать КПВ, нам необходимо найти, у кого самые маленькие альтернативные издержки, у нас это Маша, значит начинаем строить КПВ с нее, однако мы начнем строить ее с точки $(0; 100+150)$ , то есть $(0; 250)$ . КПВ Маши будет идти до $x = 25$ , а дальше КПВ Вильсона до $x = 55$ , то есть Вильсон делает 30х максимально. Получим:

$y = \begin{cases} 250 - 4x, & x \in [0; 25] \\ 275 - 5x, & x \in [25; 55] \end{cases}$

б) Маша с Вильсоном очень продуктивные вдвоем, но если добавить к ним Марию, то их вообще будет не остановить. Найдите общее КПВ команды теперь, если КПВ Марии — $y = 120 - 3x$ .

Заметим, что у нее АИ еще меньше, а значит она будет идти первая. Суммарно мы получим, что КПВ начинается из точки: $(0; 370)$ . КПВ Марии будет идти до $x = 40$ , дальше КПВ Маши до $x = 65$ , а дальше КПВ Вильсона до $x = 95$ . Получим:

$y = \begin{cases} 370 - 3x, & x \in [0; 40] \\ 410 - 4x, & x \in [40; 65] \\ 475 - 5x, & x \in [65; 95] \end{cases}$