КПВ: понятие и построение
Кривая производственных возможностей (КПВ) — это максимальный объём производства двух благ при полном использовании ресурсов. Простыми словами, КПВ показывает, сколько одного товара нужно отдать, чтобы получить больше другого. В экономике КПВ — ключевой инструмент для анализа эффективности, выбора и альтернативных издержек!
Что почитать?
1) Учебник по олимпиадной экономике: с. 177-191.
2) Лекция.
3) И еще лекция.
4) Порешать можно Акимова (с. 21-39), за исключением задачек на торговлю, она будет в следующей теме.
5) Задачник по экономике (с. 51-53).
Что порешать?
1. КПВ задано уравнением $y = 120 - 4x$, найдите:
а) Альтернативную стоимость одной единицы $y$.
б) Альтернативную стоимость одной единицы $x$.
в) Альтернативную стоимость $120$ $y$.
г) Альтернативную стоимость $20$ $x$.
д) Альтернативную стоимость $x$ (коэффициент альтернативной стоимости).
е) Альтернативную стоимости $y$ (коэффициент альтернативной стоимости).
ж) Являются ли наборы $(x; y): (10; 80); (20; 50); (25; 5)$ достижимыми? А эффективными?
КПВ задано уравнением $y = 120 - 4x$, найдите:
а) Альтернативную стоимость одной единицы игрек.
$x = 30 - \frac{1}{4}y$
AC — alternative cost, альтернативная стоимость
$AC_y = \frac{1}{4}$ икса
б) Альтернативную стоимость одной единицы икс.
$AC_x = 4$ игрека
в) Альтернативную стоимость $120$ игреков.
$AC_{120y} = 30$ иксов
г) Альтернативную стоимость $20$ иксов.
$AC_{20x} = 80$ игреков
д) Альтернативную стоимость икса (коэффициент альтернативной стоимости).
$AC_x = 4y$
е) Альтернативную стоимость игрека (коэффициент альтернативной стоимости).
$AC_y = \frac{1}{4}x$
ж) Являются ли наборы $(x; y): (10; 80); (20; 50); (25; 5)$ достижимыми? А эффективными?
Обратим внимание, что эффективными наборами считаются те, которые лежат на КПВ. Проверим, что лежит, а что нет:
$(10; 80): 80 = 120 - 4*10$
Это верно, значит это эффективный набор
$(20; 50): 50 = 120 - 4*20$
Это неверно, справа должно быть 40, а 50 больше, чем 40, значит точка лежит выше КПВ, она недостижимая.
$(25; 5): 5 = 120 - 4*25$
Это неверно, справа должно быть 20, а 5 меньше, чем 20, значит точка лежит ниже КПВ, она достижимая, но не очень эффективная.
2. All in
В одной далекой стране есть команда, которая привыкла всегда работать вместе. По отдельности они могут совсем немного: КПВ Вильсона задано как $y=150-5x$, а КПВ Маши - $y=100-4x$
а) Найдите суммарное КПВ Маши и Вильсона (и задайте его аналитически).
б) Маша с Вильсоном очень продуктивные вдвоем, но если добавить к ним Марию, то их вообще будет не остановить. Найдите общее КПВ команды теперь, если КПВ Марии - $y=120-3x$.
а) Найдите суммарное КПВ Маши и Вильсона (и задайте его аналитически).
Чтобы складывать КПВ, нам необходимо найти, у кого самые маленькие альтернативные издержки, у нас это Маша, значит начинаем строить КПВ с нее, однако мы начнем строить ее с точки $(0; 100+150)$, то есть $(0; 250)$. КПВ Маши будет идти до $x = 25$, а дальше КПВ Вильсона до $x = 55$, то есть Вильсон делает 30х максимально. Получим:
$y = \begin{cases} 250 - 4x, & x \in [0; 25] \\ 275 - 5x, & x \in [25; 55] \end{cases}$
б) Маша с Вильсоном очень продуктивные вдвоем, но если добавить к ним Марию, то их вообще будет не остановить. Найдите общее КПВ команды теперь, если КПВ Марии — $y = 120 - 3x$.
Заметим, что у нее АИ еще меньше, а значит она будет идти первая. Суммарно мы получим, что КПВ начинается из точки: $(0; 370)$. КПВ Марии будет идти до $x = 40$, дальше КПВ Маши до $x = 65$, а дальше КПВ Вильсона до $x = 95$. Получим:
$y = \begin{cases} 370 - 3x, & x \in [0; 40] \\ 410 - 4x, & x \in [40; 65] \\ 475 - 5x, & x \in [65; 95] \end{cases}$