Ботаем экономику: Младшие - 2

Найдите минимумы, максимумы и точки перегиба:

$1. f(x) = x^3-1$

$f'(x)=3x^2=0$

$x = 0$

Теперь определим, что это: минимум, максимум или точка перегиба.

Сразу отмечу, что есть несколько способов определить, чем является точка. Здесь в каждом пункте будет приведен только один из возможных вариантов обоснования.

1) Через участки возрастания/убывания функции.

Посмотрим, на каких участках функция возрастает:

$f'(x)>0$

$3x^2>0$

$x \in \mathbb{R} \backslash \{ 0 \}$

То есть функция возрастает везде, кроме нуля. То есть 0 -- это точка перегиба.

$2. f(x) = x^2 - 4x - 15, x \in [-5; 1]$

$f'(x) = 2x - 4 = 0$

$x = 2$

Возрастание:

$f'(x) > 0$

$2x - 4 > 0$

$x > 2$

То есть до 2 функция убывает, а потом возрастает. Тогда 2 - минимум. Он попадает на отрезок, данный в условии, а значит это наш истинный минимум. Значение в этой точке равно -19.

$3. f(x) = x^5 + 2x^4 + 2x - 1, x \in [-7;5]$

$f'(x) = 5x^4 - 8x^3 +2 = 0$

Больше нуля, максимумов и минимумов нет, значит считаем на ограничениях:

$f(-7)=-12020$

Значит минимум на этом отрезке

$f(5)=4384$

Значит максимум на этом отрезке

$f''(x) = 20x^3 - 24x^2 = 0$

$x=0 \quad \quad x=-\frac{6}{5}$

Функция не имеет точки перегиба в$x=0$

Точка перегиба: $x=-\frac{6}{5}$

$4. f(x) = \dfrac{x^2-4}{x-2}, x \in [0;8]$

Обратим внимание, что после разложения на множители числителя, мы получили линейную функцию, которая возрастает, а значит ее минимум будет на меньшем значении данного отрезка, а максимум - на большем:

$f_{max}=10$

$f_{min}=2$

Найдите минимумы

$f(x) = \dfrac{3x^5 - 6x - 5}{-9x^{9} + 18x^{16} + 29}$

Жестко вычислив производную и приравняв к нулю, оставим это нашим читателям, мы получим корни:

$x_1=0.819 \quad \quad x_2=1.5$

Вычислив вторую производную, получим, что первый корень и будет нашим минимумом, а значение в этой точке составит: 0,0008

$f(x) = √{x^4-4x^2+13}$

Жестко вычислив производную и приравняв к нулю, оставим это нашим читателям, мы получим корни:

$x_1=0 \quad \quad x_2=-√{2} \quad \quad x_3=√{2}$

Вычислив вторую производную, получим, что второй и третий корни будут нашими минимумами, а значение в этой точке составит: 3.