Оптимизация функций
Оптимизация функции — это поиск её наилучшего значения. Простыми словами, оптимизация помогает найти максимум прибыли или минимум затрат, исследуя поведение функции. В экономике и управлении оптимизация — это ключевой инструмент для принятия эффективных решений, расчёта оптимальных объёмов производства и управления ресурсами!
Что почитать?
1) Учебник по олимпиадной экономике: с. 19-30.
2) Если вам приятнее формат видео.
3) Если вам приятнее почитать.
Что порешать?
Найдите минимумы, максимумы и точки перегиба:
1. $f(x) = x^3-1$
2. $f(x) = x^2 - 4x - 15, x \in [-5; 1]$
3. $f(x) = x^5 + 2x^4 + 2x - 1, x \in [-7;5]$
4. $f(x) = \dfrac{x^2-4}{x-2}, x \in [0;8]$
Найдите минимумы, максимумы и точки перегиба:
**1.** $f(x) = x^3-1$
$f'(x)=3x^2=0$
$x = 0$
Теперь определим, что это: минимум, максимум или точка перегиба.
Сразу отмечу, что есть несколько способов определить, чем является точка. Здесь в каждом пункте будет приведен только один из возможных вариантов обоснования._
1) Через участки возрастания/убывания функции.
Посмотрим, на каких участках функция возрастает:
$f'(x)>0$
$3x^2>0$
$x \in \mathbb{R} \backslash \{ 0 \}$
То есть функция возрастает везде, кроме нуля. То есть 0 -- это точка перегиба.
**2.** $f(x) = x^2 - 4x - 15, x \in [-5; 1]$
$f'(x) = 2x - 4 = 0$
$x = 2$
Возрастание:
$f'(x) > 0$
$2x - 4 > 0$
$x > 2$
То есть до 2 функция убывает, а потом возрастает. Тогда 2 - минимум. Он попадает на отрезок, данный в условии, а значит это наш истинный минимум. Значение в этой точке равно -19.
**3.** $f(x) = x^5 + 2x^4 + 2x - 1, x \in [-7;5]$
$f'(x) = 5x^4 - 8x^3 +2 = 0$
Больше нуля, максимумов и минимумов нет, значит считаем на ограничениях:
$f(-7)=-12020$
Значит минимум на этом отрезке
$f(5)=4384$
Значит максимум на этом отрезке
$f''(x) = 20x^3 - 24x^2 = 0$
$x=0 \quad \quad x=-\frac{6}{5}$
Функция не имеет точки перегиба в$x=0$
Точка перегиба: $x=-\frac{6}{5}$
**4.** $f(x) = \dfrac{x^2-4}{x-2}, x \in [0;8]$
Обратим внимание, что после разложения на множители числителя, мы получили линейную функцию, которая возрастает, а значит ее минимум будет на меньшем значении данного отрезка, а максимум - на большем:
$f_{max}=10$
$f_{min}=2$
Найдите минимумы
1. $f(x) = \dfrac{3x^5 - 6x - 5}{-9x^{9} + 18x^{16} + 29}$
2. $f(x) = \sqrt{x^4-4x^2+13}$
Найдите минимумы
$f(x) = \dfrac{3x^5 - 6x - 5}{-9x^{9} + 18x^{16} + 29}$
Жестко вычислив производную и приравняв к нулю, оставим это нашим читателям, мы получим корни:
$x_1=0.819 \quad \quad x_2=1.5$
Вычислив вторую производную, получим, что первый корень и будет нашим минимумом, а значение в этой точке составит: 0,0008
$f(x) = \sqrt{x^4-4x^2+13}$
Жестко вычислив производную и приравняв к нулю, оставим это нашим читателям, мы получим корни:
$x_1=0 \quad \quad x_2=-\sqrt{2} \quad \quad x_3=\sqrt{2}$
Вычислив вторую производную, получим, что второй и третий корни будут нашими минимумами, а значение в этой точке составит: 3.