Ботаем экономику: Младшие

Производная функция

Производная — это скорость изменения функции. Простыми словами, производная показывает, насколько быстро меняется значение функции при изменении её аргумента. В экономике производная - необходимый инструмент для работы с функциями, оптимизациями и в целом для решения задач!

Что почитать?

1) Учебник по олимпиадной экономике: с. 9-19.

2) Конспект с лекции Династии (курс ЭМШ) по ссылке

3) Понятие производной в видео формате. Тут большой плейлист.

4) Памятка и учебник!

Что порешать?

1. Найдите первую и вторую производную

$f(x) = x^3 + 0.5x^2 + 4x + 12$

$f(x) = (x^2 - 10)(x^3 - 13x + 10)$

$f(x) = \frac{4}{(x - 7)^8}$

$f(x) = \frac{1}{x^3} + x^2 - 2x + 3$

$f(x) = 3x + 5x^2 - x^3 \cdot \sqrt{x}$

$f(x) = 8x^2 - \frac{(x - 14)^2}{\sqrt{x + 13}}$

Решение

1. Найдите первую и вторую производную

$f(x) = x^3 + 0.5x^2 + 4x + 12$

$f'(x) = 3x^2 + x + 4$

$f''(x) = 6x + 1$

$f(x) = (x^2 - 10)(x^3 - 13x + 10)$

$f'(x) = 4x^3 - 39x^2 + 130$

$f''(x) = 12x^2 - 78x$

$f(x) = \frac{4}{(x - 7)^8}$

$f'(x) = -\frac{32}{(x - 7)^9}$

$f''(x) = \frac{288}{(x - 7)^{10}}$

$f(x) = \frac{1}{x^3} + x^2 - 2x + 3$

$f'(x) = -\frac{3}{x^4} + 2x - 2$

$f''(x) = \frac{12}{x^5} + 2$

$f(x) = 3x + 5x^2 - x^3 \cdot \sqrt{x}$

$f'(x) = 3 + 10x - \frac{7}{2}x^{\frac{5}{2}}$

$f''(x) = 10 - \frac{35}{4}x^{\frac{3}{2}}$

$f(x) = 8x^2 - \frac{(x - 14)^2}{\sqrt{x + 13}}$

$f'(x) = 16x - \frac{3x^2 + 24x - 924}{2\sqrt{x + 13}(x + 13)}$

$f''(x) = 16 - \frac{3x^3 + 171x^2 + 5112x + 44148}{4\sqrt{x + 13}(x + 13)^3}$

2. Постройте графики первой и второй производной функций

$y = x^2 + 4x + 1$

$y = x^{\frac{3}{2}} + 2x$

Решение

Постройте графики первой и второй производной функций

$y = x^2 + 4x + 1$

$y' = 2x + 4$

$y'' = 2$

$y = x^{\frac{3}{2}} + 2x$

$y' = \frac{3}{2}\sqrt{x} + 2$

$y'' = \frac{3}{4\sqrt{x}}$